ハウスドルフのパラドックス

ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。

つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。

いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。

この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。

また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。

証明の概略

球面の回転群の構成

$\phi$をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を$\psi$とする。 これらによって生成された群をGとする。

回転軸を適当に選べば、$\phi ,\psi$は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。

$\phi ,\psi ,{\psi }^2$の2つ以上からなる積は、以下の$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$のタイプに分類される。ただし， $m_1,m_2,\dots ,m_n$は1または2である．

$\begin{array}{ccc}\alpha & =& {\psi }^{m_1}\phi {\psi }^{m_2}\cdots \phi {\psi }^{m_n}\phi \\ \beta & =& \phi {\psi }^{m_1}\phi {\psi }^{m_2}\cdots \phi {\psi }^{m_n}\\ \gamma & =& \phi {\psi }^{m_1}\phi {\psi }^{m_2}\cdots \phi {\psi }^{m_n}\phi \\ \delta & =& {\psi }^{m_1}\phi {\psi }^{m_2}\cdots \phi {\psi }^{m_n}\end{array}$

$\alpha \ne 1$であることが示されれば、$\beta ,\gamma ,\delta \ne 1$であることが分かる。

$\lambda =\cos \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2},\mu =\sin \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2},$ とすると、

$\begin{array}{ccc}(\psi )& & \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\lambda -y\mu \\ y^{\prime }=x\mu +y\lambda \\ z^{\prime }=z\end{array}.\\ (\phi )& & \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\ y^{\prime }=-y\\ z^{\prime }=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}\\ (\psi \phi )& & \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\ y^{\prime }=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\ z^{\prime }=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}\end{array}$

であり、$({\psi }^2\phi )$は、$(\psi \phi )$の式の$\mu$を $-\mu$で置き換えたものである。

$({\psi }^2\phi )$または$(\psi \phi )$のn個の積を $t^{}(0,0,1)$ に作用させると、

$\begin{array}{ccc}x& =& \sin \vartheta (a\cos {\vartheta }^{n-1}+\dots )\\ y& =& \sin \vartheta (b\cos {\vartheta }^{n-1}+\dots )\\ z& =& c\cos {\vartheta }^n+\dots \end{array}$

であることが分かる．

$\alpha$による $t^{}(0,0,1)$ の変換結果のz座標は

$z={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}\cos {\vartheta }^n+\cdots$

である。右辺は$\cos \vartheta$の多項式であり、係数は代数的数である。$\vartheta$を選んで、$\cos \vartheta$が超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。

群Gの分割

回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。

• Aが単位元1を持つ。
• $\rho$がAに属するとき、$\phi \rho$はA + Bに属する。
• $\rho$がAに属するとき、$\psi \rho ,{\psi }^2\rho$はそれぞれB, Cに属する。

手続き (1)

1は、Aに属するものとする。$\phi ,\psi$はBに属するものとする。${\psi }^2$はCに属するものとする。

手続き (2)

${\psi }_n$を先頭が$\psi$又は${\psi }^2$であるような、$\phi ,\psi ,{\psi }^2$のn個の積とする。

${\phi }_n$を先頭が$\phi$であるような、$\phi ,\psi ,{\psi }^2$のn個の積とする。

${\psi }_n$がA, B, Cに属するならば、$\phi {\psi }_n$はB, A, Aに属するようにする。

${\phi }_n$がA, B, Cに属するならば、$\psi {\phi }_n$はB, C, Aに属するようにする。${\psi }^2{\phi }_n$はC, A, Bに属するようにする。

このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。

$\begin{array}{cccccccccccccccc}A& 1& & & & \phi \psi & ,& \phi {\psi }^2& ,& {\psi }^2\phi & \phi \psi \phi & & & & & \cdots \\ B& & \phi & ,& \psi & & & & & & \phi {\psi }^2\phi & ,& \psi \phi \psi & ,& \psi \phi {\psi }^2& \cdots \\ C& & & & {\psi }^2& & & & & \psi \phi & & & {\psi }^2\phi \psi & ,& {\psi }^2\phi {\psi }^2& \cdots \end{array}$

選択公理の適用

1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道を$P_x$とすると、$P_x=P_y$か、$P_x\cap P_y=\mathrm{\varnothing }$のいずれか1つが成り立つ。 そして$G=\bigcup _{x\in M}{P}_x$ である．

選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。

このとき

$\begin{array}{ccc}{A}^{\prime }& =& \{gx|g\in A,x\in M\}\\ B^{\prime }& =& \{gx|g\in B,x\in M\}\\ C^{\prime }& =& \{gx|g\in C,x\in M\}\end{array}$

$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$をA, B, Cと書き直すと$P=A\cup B\cup C$であり、

$\phi A=B\cup C,\psi A=B,{\psi }^{2}A=C$

であるから、$A,B,C,B\cup C$は合同となる。よって定理は証明された。

参考文献

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