ハンケル変換

テンプレート:脚注の不足 ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 (en) である。関数 f(r) に対する次数 $\nu$ のハンケル変換は以下で定義される。

$F_{\nu }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)J_{\nu }(kr)rdr$

ここで J_ν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 F_ν(k) は以下となることが分かる。

$f(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)kdk$

ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。

定義域

関数 f(r) のハンケル変換が定義されるのは、f(r) が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(r)|r^{1/2}dr$

が有限であるときである。

しかしフーリエ変換と同様に、たとえば $f(r)=(1+r{)}^{-3/2}$ のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。

基底関数の直交性

ベッセル関数を使うことで、重み因子 r に関して直交基底 (en) を作ることができる。

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{\nu }(kr)J_{\nu }(k^{\prime }r)rdr=\frac{\delta (k-k^{\prime })}{k}$

ここで k と k' はどちらも 0 より大きい。

プランシュレルの定理とパーセバルの定理

関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 F_ν(k) と G_ν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)g(r)rdr=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)G_{\nu }(k)kdk.$

プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(r){|}^{2}rdr=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|F_{\nu }(k){|}^{2}kdk.$

これらのことは、基底の直交性から導かれる。

他の積分変換との関連

フーリエ変換との関連

零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。

動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。

$F(𝐤)=\frac{1}{2\pi }\iint f(𝐫)e^{-i𝐤\cdot 𝐫}d𝐫.$

ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。

$F(𝐤)=\frac{1}{2\pi }\underset{r=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}f(r,\theta )e^{-ikr\cos (\theta )}rdrd\theta$

ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。

$F(𝐤)=F(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)J_0(kr)rdr$

これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。

フーリエ変換、アーベル変換との関連

ハンケル変換は、FHA サイクル (en) と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 (en)、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 (en) の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。

$FA=H.$

つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。

変換表

$f(r)$	$F_0(k)$
$1$	$\delta (k)/k$
$1/r$	$1/k$
$r$	$-1/k^3$
$r^3$	$9/k^5$
$r^m$	$\frac{2^{m+1}\mathrm{\Gamma }(m/2+1)}{k^{m+2}\mathrm{\Gamma }(-m/2)}$ for m odd $0???$ for m even
$\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}$	$\frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}{K}_{-1/2}(k|z|)$
$\frac{1}{r^2+z^2}$	$K_0(k|z|)$
$e^{iar}/r$	$i/\sqrt{a^2-k^2}(a>0,k<a)$
$$	$1/\sqrt{k^2-a^2}(a>0,k>a)$
$e^{-a^2{r}^2/2}$	$\frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}$
$-r^{2}f(r)$	$\frac{d^2{F}_0}{d{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{d{F}_0}{dk}$

$K_n(z)$ は第2種変形ベッセル関数である。表中の $\frac{d^2{F}_0}{d{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{d{F}_0}{dk}$ は、球対称な関数 $F_0(k)$ に極座標系 $(k,\theta )$ におけるラプラス演算子 (en) を適用することを意味する。

参考文献

• Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
• Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• テンプレート:Cite book
• GSL リファレンスマニュアル, 第32章 離散ハンケル変換テンプレート:リンク切れ