フォッカー・プランク方程式

フォッカー・プランク方程式（テンプレート:Lang-en-short）とは、統計力学でテンプレート:Illにおいてn ≥ 3 の項のない次の方程式のことをいう。

$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}{\alpha }_1(x,t)P(x,t)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\alpha }_2(x,t)P(x,t)$

物理量x (t) の揺動が確率微分方程式

$\frac{dx}{dt}=a(x,t)+b(x,t)R(t)$

という形で与えられるとする。ただし、R (t) は白色雑音のガウス過程：

$⟨R(t)R(t^{\prime })⟩=D\delta (t-t^{\prime })$

である。このとき、x の確率分布P (x, t) はフォッカー・プランク方程式に従う。ただし係数の定義には以下の2つの流儀がある：

• 伊藤清の方法

$\begin{array}{cc}{\alpha }_1(x,t)& =a(x,t)\\ {\alpha }_2(x,t)& =D(b(x,t){)}^2\end{array}$

• ストラトノビッチの方法

$\begin{array}{cc}{\alpha }_1(x,t)& =a(x,t)+\frac{D}{2}\frac{\partial b}{\partial x}(x,t)b(x,t)\\ {\alpha }_2(x,t)& =D(b(x,t){)}^2\end{array}$

特に線形ブラウン運動（オルンシュタイン＝ウーレンベック過程）に対する方程式を線形フォッカー・プランク方程式という。このときは

$\begin{array}{cc}{\alpha }_1(x,t)& =-\gamma x\\ {\alpha }_2(x,t)& =D\end{array}$

となる（γ , D は定数）。これは

$\frac{dx}{dt}=-\gamma x+R(t)$

というランジュバン方程式に対応する。

参考文献

• テンプレート:Cite

関連項目

• 非平衡熱力学
• 線形応答理論