ベクトルの成分分解

テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf への射影 テンプレート:Math と テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf からの反射影 テンプレート:Math.

成す角が テンプレート:Math のときは、射影ベクトル テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf に対して反対の方向を持つ。

線型代数学における空間ベクトル テンプレート:Mathbf の適当な非零ベクトル テンプレート:Mathbf 方向およびその法方向への分解（ぶんかい、テンプレート:Lang-en-short）$$𝐚={𝐚}_1+{𝐚}_2={𝐚}_{\parallel 𝐛}+{𝐚}_{\perp 𝐛}$$ を考えるとき、テンプレート:Mathbf-方向成分 (vector component) テンプレート:Math は、[[ベクトルのなす角|テンプレート:Mathbf と テンプレート:Mathbf の成す角]]を テンプレート:Mvar とすれば $${𝐚}_{\parallel 𝐛}:=|𝐚|\cos \theta \widehat{𝐛}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛||𝐛|}𝐛(\cos \theta =\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|})$$ で与えられる。これは テンプレート:Mathbf の始点を通り テンプレート:Mathbf に平行な直線への正射影ベクトルであり、テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf（の上）への(ベクトル)射影 (vector projection) とも呼ばれ、その「符号付き」大きさ テンプレート:Math はしばしば テンプレート:Mathbf へのスカラー射影 (scalar projection) とも呼ばれる。大きさの「符号」は射影 テンプレート:Math と テンプレート:Mathbf の向き（プラスならば同方向、マイナスならば逆方向）を表している。

テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf の法方向の成分ベクトル テンプレート:Math はしばしば テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf からの(ベクトル)反射影 (vector rejection from b) と呼ばれ、テンプレート:Mathbf に直交する平面（一般には超平面）（の上）への テンプレート:Mathbf の正射影ベクトルとして与えられる。テンプレート:Math に注意すれば、反射影ベクトルは $$\begin{array}{cc}{𝐚}_{\perp 𝐛}& =𝐚-{𝐚}_{\parallel 𝐛}\\ & =𝐚-|𝐚|\cos \theta \widehat{𝐛}=𝐚-\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛||𝐛|}𝐛\end{array}$$ と書ける。

性質

テンプレート:Math のときには、テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf へのスカラー射影は射影ベクトルの大きさに一致する。

スカラー射影

テンプレート:Main テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf へのスカラー射影 テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf と テンプレート:Mathbf の成す角 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math のときは負符号を持つ。成す角が テンプレート:Math より小さいときにはベクトル射影の大きさ テンプレート:Math に一致する。まとめると

• テンプレート:Math (テンプレート:Math のとき);
• テンプレート:Math (テンプレート:Math のとき).

ベクトル射影

テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf への射影ベクトル テンプレート:Math は零ベクトルであるかさもなくば テンプレート:Mathbf に平行である。

• テンプレート:Math (テンプレート:Math のとき);
• テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf と同方向 (テンプレート:Math のとき);
• テンプレート:Math と テンプレート:Mathbf は逆方向 (テンプレート:Math のとき).

ベクトル反射影

テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf からの反射影 テンプレート:Math は零ベクトルであるかさもなくば テンプレート:Mathbf に直交する。

• テンプレート:Math (テンプレート:Math のとき);
• テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf に垂直 (テンプレート:Math のとき).

行列表現

適当なベクトル方向への射影は射影行列として表現することができる。単位ベクトル テンプレート:Math への射影は行列 $$P_a:=a{a}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_x^2& a_x{a}_y& a_x{a}_z\\ a_x{a}_y& a_y^2& a_y{a}_z\\ a_x{a}_z& a_y{a}_z& a_z^2\end{array}\right)$$ を掛ければよい。

一般化

ベクトルの長さおよびベクトル間の角度の概念は任意の テンプレート:Mvar-次元内積空間に対して一般化することができるから、ベクトルの直交射影、別のベクトルに対する射影・反射影の概念も同じくそのような状況設定に対して一般化することができる。内積空間によってはその内積を点乗積で与えることができるものもあるが、そうでない場合には射影や反射影の厳密な定義においては点乗積ではなくその空間における内積を用いることにしなければならない。

例えば三次元内積空間に対して、ベクトルの射影・反射影の概念は「平面への」射影および「平面からの」反射影という形で一般化される。ベクトルの平面への射影とはその平面への直交射影のことであり、平面からの反射影はその平面に直交する直線の上への直交射影として与えられる。これらはともにベクトルであり、前者は平面と平行、後者は平面に垂直である。与えられたベクトルと平面の組に対して、そのベクトルのその平面に関する射影と反射影との和はもとのベクトルに一致することに注意する。同様に、より高次元の内積空間ではベクトルの射影・反射影の概念を超平面に対する射影・反射影として一般化できる。

テンプレート:Ill2においては、射影・反射影の概念はさらに拡張されて、任意の可逆 テンプレート:Mvar-ブレードに対する一般のテンプレート:Ill2の射影・反射影の概念が与えられる。

外部リンク

• Projection of a vector onto a plane
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM