ベルトランの仮説

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ベルトランの仮説（テンプレート:Lang-en-short）とは、フランスの数学者ジョゼフ・ベルトランが1845年に発表した、テンプレート:Math theoremという命題である。テンプレート:Math theorem テンプレート:Math theorem とも言い換えられる。ベルトランはこの命題を テンプレート:Math2 の場合に検証し、一般の場合についての予想として提出したテンプレート:Sfn。この命題は実際には1852年にチェビシェフによって証明されておりテンプレート:Sfn、現在ではベルトラン＝チェビシェフの定理（テンプレート:Lang-en-short）、数論におけるチェビシェフの定理（テンプレート:Lang-en-short）とも呼ばれている。

証明

ガンマ関数を使った証明

最初に得られたチェビシェフによる証明はガンマ関数を使った高度なものであったテンプレート:Sfn。1919年にシュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、ガンマ関数を用いて、チェビシェフの証明よりも簡単な証明を与えたテンプレート:Sfn。

初等的な証明

1932年にポール・エルデシュが高校生のときに初等的な証明を与えた[1][2][3]。

一松信は、エルデシュによる初等的な証明をさらに解きほぐしたものを『数研通信』70号（2011年5月）に発表した[2]。2013年5月には、より強い評価式による証明が発表された[4]。2019年8月には、『数学セミナー』に同様な証明が掲載された[5]。

証明

その証明の概略は次の通りである。背理法による。

  1. ある自然数 テンプレート:Mvar を取ると、テンプレート:Math2 を満たす素数 テンプレート:Mvar が存在しないと仮定する。
  2. テンプレート:Math を下と上から テンプレート:Mvar の式で評価し、それを テンプレート:Math2 とおく。
  3. y=log⁡xx は テンプレート:Math で減少より、テンプレート:Math2 は、幸いにもあまり大きくない数 テンプレート:Math 以上では成り立たないと確認される。
  4. テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math2 を満たす テンプレート:Mvar が存在することを確認する。
  5. これらは矛盾。（証明終）

素数定理による証明

素数定理により、テンプレート:Mvar が十分大きいときには テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の間の素数の個数は テンプレート:Math に近いことが言え、特にベルトランの仮説によって保証されている1つの素数の存在よりもより強く、より多くの素数が テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の間に存在していることが分かる。しかしここで素数定理をベルトランの仮説の証明に用いるためには、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の間の実際の素数の個数が テンプレート:Math からどれだけずれているのかを評価しなければならない。この評価を得ることは可能だが、証明は入り組んだものになるし、チェビシェフによるベルトランの仮説の証明は素数定理の証明よりも前に得られていた。

ゴールドバッハの予想による証明

ゴールドバッハの予想を真と仮定すれば、ベルトランの仮説は簡単に示せる。 テンプレート:Math theorem この方向で次もいえる。テンプレート:Math を満たす素数 テンプレート:Mvar が存在しないような正整数 テンプレート:Mvar が存在する時、テンプレート:Math 以上の偶数は、2つの素数と13個の2の冪の和として表せない（上記から2つの素数の和として表せないのは自明であり、そこから導ける）。そして、テンプレート:Math と テンプレート:Math は両方、4つの素数の和として表せない。逆に、テンプレート:Math と テンプレート:Math が両方、5つ以上の素数の和としてしか表せないような正整数 テンプレート:Mvar が存在する時、その5つ以上のうちの最大素数は テンプレート:Mvar 以下である。

一般化

ポール・エルデシュはこの命題の一般化として次の命題を証明した。

「任意の自然数 テンプレート:Mvar に対して、ある自然数 テンプレート:Mvar を取ると、任意の自然数 テンプレート:Math2 に対して、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の間に素数が少なくとも テンプレート:Mvar 個存在する」[3]　

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

テンプレート:Numtheory-stub

  1. ↑ 原論文はテンプレート:Harvnb。
  2. ↑ 2.0 2.1 テンプレート:Harvnb
  3. ↑ 3.0 3.1 テンプレート:Harvnbを参照。
  4. ↑ テンプレート:Harvnb
  5. ↑ テンプレート:Harvnb
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