ホフスタッター点

ユークリッド幾何学において、 ホフスタッター点（ほふすたったーてん、Hofstadter points）とは三角形の中心の集合の一つである。そのうち二つはホフスタッター1点、ホフスタッター0点と呼ばれる有名点で、クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではそれぞれX(359)、X(360)として登録されている。X(360)は、1992年、ダグラス・ホフスタッターによって発見された。

ホフスタッター三角形

テンプレート:Math と実数テンプレート:Mvarがある。

点テンプレート:Mvarのある方向へ、線分テンプレート:Mvarを点テンプレート:Mvarを中心にテンプレート:Mvar回転した線をテンプレート:Mvar、点テンプレート:Mvarを中心にテンプレート:Mvar回転した点をテンプレート:Mvarとし、その二直線の交点をテンプレート:Mathとする。同様にテンプレート:Math、テンプレート:Mathも定義する。テンプレート:Math の成す三角形はテンプレート:Mathのホフスタッターテンプレート:Mvar三角形（またはテンプレート:Mvarホフスタッター三角形）と呼ばれる。

特別な場合

• ホフスタッター 1/3三角形は、第一モーリーの三角形と呼ばれる正三角形である。
• ホフスタッター 1/2三角形は、単に内心となる。
• ホフスタッター 2/3三角形は、第一モーリーの付属三角形である。

三線座標

ホフスタッターテンプレート:Mvar三角形の各頂点の三線座標は以下の様に与えられる。$$\begin{array}{ccccccc}A(r)& =& 1& :& \frac{\sin rB}{\sin (1-r)B}& :& \frac{\sin rC}{\sin (1-r)C}\\ B(r)& =& \frac{\sin rA}{\sin (1-r)A}& :& 1& :& \frac{\sin rC}{\sin (1-r)C}\\ C(r)& =& \frac{\sin rA}{\sin (1-r)A}& :& \frac{\sin (1-r)B}{\sin rB}& :& 1\end{array}$$

ホフスタッター点

ホフスタッター点のアニメーション。 テンプレート:Math はホフスタッター0点で テンプレート:Math はホフスタッター1点. 赤い線はテンプレート:Mathの範囲のホフスタッターテンプレート:Mvar点の軌跡を表す。この軌跡は内心テンプレート:Mvar を通る。

実数テンプレート:Mathについてテンプレート:Mathに対するホフスタッターテンプレート:Mvar三角形の頂点をテンプレート:Mathとする。このときテンプレート:Mathは共点で、その点をテンプレート:Mathのホフスタッターテンプレート:Mvar点と言う。

特別な場合

• ホフスタッター1/2点は内心
• ホフスタッター2点は外心
• ホフスタッター-1点は垂心
• ホフスタッター1/3点は第一モーリー・テイラー・マール心X₃₅₇
• ホフスタッター2/3点は第二モーリー・テイラー・マール心X₃₅₈

ホフスタッターテンプレート:Mvar点の三線座標

ホフスタッターテンプレート:Mvar点の三線座標は以下の様に与えられる。$$\frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}:\frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}:\frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}$$ホフスタッターテンプレート:Mvar点とホフスタッターテンプレート:Math点は等角共役である。テンプレート:Mvarが0,1,2でない整数の場合、ホフスタッターテンプレート:Math点とホフスタッターテンプレート:Mvar点は外接円に対する反転の関係にある。

ホフスタッター0点とホフスタッター1点

テンプレート:Mvarが0または1であるとき、単に上の式にそれを代入しても三線座標を得ることはできない。

ホフスタッター0点はホフスタッターテンプレート:Mvar点を0に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。$$\begin{array}{cccccc}\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{\sin rA}{r\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{r\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{r\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{A\sin rA}{rA\sin (A-rA)}& :& \frac{B\sin rB}{rB\sin (B-rB)}& :& \frac{C\sin rC}{rC\sin (C-rC)}\end{array}$$$\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rA}{rA}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rB}{rB}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rC}{rC}=1$より$$⟹\frac{A}{\sin A}:\frac{B}{\sin B}:\frac{C}{\sin C}=\frac{A}{a}:\frac{B}{b}:\frac{C}{c}$$

ホフスタッター1点も同様にホフスタッターテンプレート:Mvar点を1に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。$$\begin{array}{cccccc}\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{(1-r)\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{(1-r)\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{(1-r)\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{(1-r)A\sin rA}{A\sin (A-rA)}& :& \frac{(1-r)B\sin rB}{B\sin (B-rB)}& :& \frac{(1-r)C\sin rC}{C\sin (C-rC)}\end{array}$$$\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)A}{\sin (A-rA)}=\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)B}{\sin (B-rB)}=\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)C}{\sin (C-rC)}=1$より$$⟹\frac{\sin A}{A}:\frac{\sin B}{B}:\frac{\sin C}{C}=\frac{a}{A}:\frac{b}{B}:\frac{c}{C}$$