ミッチェル・ネトラバリ・フィルター

ミッチェル・ネトラバリ・フィルター (Mitchell-Netravali フィルター) またはBC-スプラインは主にコンピューターグラフィックスで用いられる再構成フィルター群である。利用例としてはラスタ―画像のアンチエイリアスや拡大縮小などが挙げられる。3次スプラインに含まれるため、画像処理プログラムではバイキュービック・フィルターと呼ばれることもある。

定義

パラメーターが (1/3, 1/3) の Mitchell-Netravali フィルターのグラフ

Mitchell-Netravali フィルターは再構成フィルターのアーティファクトについて調べるために設計された。区分的3次フィルターであり、幅1ピクセルの4つの台を持つ。不連続曲線などの不適切なフィルターを除くと、Mitchell-Netravali フィルターの性質を特徴付ける2つのパラメーター $B$ と $C$ が残る。Mitchell-Netravali フィルターは次のように定義される:

$k(x)=\frac{1}{6}\{\begin{array}{cc}\begin{array}{c}(12-9B-6C)|x{|}^3+(-18+12B+6C)|x{|}^2\\ +(6-2B)\end{array}& \text{, }|x|<1\text{の場合}\\ \begin{array}{c}(-B-6C)|x{|}^3+(6B+30C)|x{|}^2\\ +(-12B-48C)|x|+(8B+24C)\end{array}& \text{, }1\le |x|<2\text{の場合}\\ 0& \text{その他の場合}\end{array}$

分離 (separation) を用いて、Mitchell-Netravali フィルターの2次元版を作ることもできる。その場合、2次元フィルターは1次元フィルターによる補間を縦横の2回行うことで置き換えられる。1次元の場合、ピクセル値 $P(d)$ をその周辺の4つのピクセルの値 $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ を用いて表すと

$\begin{array}{cc}P(d)& =((-\frac{1}{6}B-C)P_0+(-\frac{3}{2}B-C+2)P_1+(\frac{3}{2}B+C-2)P_2+(\frac{1}{6}B+C)P_3)d^3\\ & +((\frac{1}{2}B+2C)P_0+(2B+C-3)P_1+(-\frac{5}{2}B-2C+3)P_2-C{P}_3)d^2\\ & +((-\frac{1}{2}B-C)P_0+(\frac{1}{2}B+C)P_2)d\\ & +\frac{1}{6}B{P}_0+(-\frac{1}{3}B+1)P_1+\frac{1}{6}B{P}_2\\ \end{array}$

となる。ただし、$P$ は $P_1$ と $P_2$ の間に位置し、$d$ は $P_1$ と $P$ の距離である。

特殊な場合

Mitchell-Netravali フィルターで再構成した画像の主観的評価。破線は開発者が推奨するパラメーターを示す。

パラメーター B と C の選び方によって違ったアーティファクトが発生しうる (図を参照)。開発者が推奨する値の組み合わせは $B+2C=1$ で、特に $B=C=\frac{1}{3}$ である。

特定のパラメーターの組み合わせで、既知の3次スプラインを表せる:

• B=1, C=0 は3次 B-スプライン である (Paint.NETなどでバイキュービック・フィルターとして用いられている)
• B=0 は Cardinal Spline である
• B=0, C=0.5 は Catmull-Rom spline である (GIMPなどでバイキュービック・フィルターとして用いられている)

GIMPのバイキュービック・フィルター (B=0, C=0.5) と拡大図

Paint.NETのバイキュービック・フィルター (B=1, C=0) と拡大図

外部リンク

• テンプレート:Webarchive - Thomas Teußl: Sampling and Reconstruction in Volume Visualization (学位論文).

参考文献

• Don Mitchell, Arun Netravali: Reconstruction Filters in Computer Graphics. ACM SIGGRAPH Computer Graphics 22, 4 (Aug. 1988): 221–228, テンプレート:ISSN
• Matt Pharr, Greg Humphreys: Physically Based Rendering. From Theory to Implementation, S. 279–367. Morgan Kaufmann, London 2004, ISBN 01-2553-180-X (PDF, 7 MB)