モールの応力円

モールの応力円（モールのおうりょくえん、Mohr's stress circle）とは、物体内の応力状態を図示するときに現れる円である。名称はテンプレート:仮リンクにちなむ。

平面応力状態

平面応力状態において座標を (x, y) とし、物体内にはたらく垂直応力がσ_x、σ_y、せん断応力がτであるとき、この座標系に対して角度φだけ傾いた断面にはたらく応力σ'、τ' は

\begin{matrix} σ^{'} & = \frac{1}{2} (σ_{x} + σ_{y}) + \frac{1}{2} (σ_{x} - σ_{y}) \cos 2 ϕ + τ \sin 2 ϕ, \\ τ^{'} & = \frac{1}{2} (σ_{y} - σ_{x}) \sin 2 ϕ + τ \cos 2 ϕ \end{matrix}

で表される。これらの式を組み合わせると、次の式が得られる^[1]：

{(σ^{'} - \frac{σ_{x} + σ_{y}}{2})}^{2} + τ'^{2} = \frac{(σ_{x} - σ_{y})^{2}}{4} + τ^{2}

これはσ'-τ' 平面上で円の方程式になっており、これをモールの応力円という。

モールの応力円を用いれば、主応力σ₁、σ₂ は円とσ' 軸との交点でのσ' の値となり、主応力面の角度は円上の点 (σ_x, τ) と円の中心を結ぶ線分がσ' 軸となす角の半分で表され、図の上で求めることができる。

より一般的な3軸応力状態の場合、その主応力をσ₁、σ₂、σ₃ とすると、応力円は

の3つが描かれ、任意の断面の応力はこれらの円で囲まれた領域内の点で表される。

平面応力状態で、せん断応力τのみを受ける場合のモールの応力円は、原点を中心とし、半径がτの円となる。したがって主応力はx軸と±π/4の角度をなす面で生じ、σ₁, σ₂ = ±τとなる。

モールの応力円と同様の図示法がある。