ライスナー・ノルドシュトロム解

ライスナー・ノルドシュトロム解（ライスナー・ノルドシュトロムかい、テンプレート:En）は、一般相対性理論のアインシュタイン・マクスウェル方程式の厳密解の一つで、球対称で電荷を帯びたブラックホールを表現する計量 (テンプレート:En) である。シュヴァルツシルト解の発見直後、ライスナー (テンプレート:Interlang, テンプレート:年) とノルドシュトロム (テンプレート:Interlang, テンプレート:年) によって報告された。

ライスナー・ノルドシュトロム計量は、次のように書ける。

$\mathrm{d}{s}^2=-(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})\mathrm{d}{t}^2+{(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$

ここで、

$\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2$

であり、

$M$ は、ブラックホールの質量

$Q$ は、ブラックホールの電荷

である。ここでは、光速と万有引力定数、クーロン定数を1とする幾何学単位系 ($c=G=k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=1$) を用いている。電荷がゼロであれば、解は、シュヴァルツシルト解を再現する。

この解には、2つの地平面が存在する。座標で表現すると

$r_{\pm }=M\pm \sqrt{M^2-Q^2}$

の面であり、外側が事象の地平面、内側がコーシー地平面 (Cauchy horizon)と呼ばれる。電荷が$|Q|=M$のとき、2つの地平面は重なり、最大荷電ブラックホール(extremal black hole)となる。

この値以上の電荷を持つと（$|Q|>M$）、時空が裸の特異点を持つことになるので、ロジャー・ペンローズの宇宙検閲官仮説に基づけば、このようなブラックホールは自然界には存在しないと考えられる。

エネルギー運動量テンソル

ライスナー・ノルドシュトロム解ではシュワルツシルト解と異なり、アインシュタイン方程式におけるエネルギー運動量テンソルの項は電磁場があるため非ゼロである。電荷Qを持つ球対称なブラックホール周辺の電磁場テンソルは、 $r$ が一定の球面の面積は計量の角度方向が $rd{\mathrm{\Omega }}^2$ であること、また計量の $dt$ と $dr$ の係数の積が 1 であることから、電場の保存則よりすぐにテンプレート:Indent でその他の成分はゼロとわかる。 これよりエネルギー運動量テンソルは公式 テンプレート:Indent よりテンプレート:Indent となる。

関連項目

• 一般相対性理論 | アインシュタイン方程式
• シュヴァルツシルト・ブラックホール
• ブラックホール唯一性定理