ワトソンの五重積

数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}{z}^{-1})(1-q^{4m-2}{z}^2)(1-q^{4m-2}{z}^{-2})$

証明

ヤコビの三重積により

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(n+1)}{z}^n=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}{z}^{-1})$

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{2n^2}{z}^{2n}=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}{z}^2)(1-q^{4m-2}{z}^{-2})$

オイラーの五角数定理により

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{2n(3n-1)}=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{4m})$

これらを用いて五重積の公式を書き直せば

$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{q}^{2m(3m-1)}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j{q}^{j(j+1)}{z}^j\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{q}^{2k^2}{z}^{2k}$

となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は

$\begin{array}{cc}L& =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{q}^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{q}^{2m(3m-1)+n(3n+1)}{z}^{3n}-\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{q}^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}{z}^{3n-1}(m,n\mapsto -m,-n)\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-n}{q}^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}{z}^{3n}-\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-n}{q}^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^2}{z}^{3n-1}(m\mapsto k-n)\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{3n-k}{q}^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}{z}^{3n}+\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{3n-1-k}{q}^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^2}{z}^{3n-1}\\ \end{array}$

さて

$\begin{array}{cc}0& =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{q}^{m(m+1)}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(n+1)}=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{q}^{m(m+1)}(n\mapsto -(m+1))\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m(q^6{)}^{m(m-1)}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{2n-2}{q}^{3n^2-3n+2}{z}^{3n-2}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+2n-2}{q}^{6m(m-1)+3n^2-3n+2}{z}^{3n-2}\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{3n-2-k}{q}^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^2}{z}^{3n-2}(m\mapsto n-k)\\ \end{array}$

であるから

$\begin{array}{cc}L=L+0& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-k}{q}^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^2}{z}^n(3n,3n-1,3n-2\mapsto n)\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+j}{q}^{j(j+1)+2k^2}{z}^{j+2k}(n\mapsto j+2k)\\ & =\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j{q}^{j(j+1)}{z}^j\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{q}^{2k^2}{z}^{2k}\\ \end{array}$

となり、右辺を得る。

関連項目

• ジョージ・ネビル・ワトソン (en)
• ヤコビの三重積
• ファルカシュの七重積 (テンプレート:Lang-en-short)

参考文献

• Bailey, W. N. (1951), "On the simplification of some identities of the Rogers-Ramanujan type", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1: 217–221, テンプレート:Doi, テンプレート:ISSN, MR 0043839
• Gordon, Basil (1961), "Some identities in combinatorial analysis", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series, 12: 285–290, テンプレート:Doi, テンプレート:ISSN, MR 0136551
• Carlitz, L.; Subbarao, M. V. (1972), "A simple proof of the quintuple product identity", Proceedings of the American Mathematical Society, 32: 42–44, テンプレート:Doi, テンプレート:ISSN, テンプレート:JSTOR, MR 0289316
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal

関連文献

和文

• テンプレート:PDFlink, 平成29年度 (第39回) 数学入門公開講座テキスト (京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日～8月3日開催)
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:PDFlink (五重積公式について解説がある)

英文

• Subbarao, M. V., & Vidyasagar, M. (1970). On Watson’s quintuple product identity. Proceedings of the American Mathematical Society, 26(1), 23-27.
• Hirschhorn, M. D. (1988). A generalisation of the quintuple product identity. Journal of the Australian Mathematical Society, 44(1), 42-45.
• Alladi, K. (1996). The quintuple product identity and shifted partition functions. en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 68(1-2), 3-13.
• テンプレート:Cite journal
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• Chu, W., & Yan, Q. (2007). Unification of the quintuple and septuple product identities. The electronic journal of combinatorics.