劣加法的集合函数

数学における劣加法的集合函数（れつかほうてきしゅうごうかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、二つの集合の合併に対する値が、それぞれの集合に対する値の和で上から抑えられるような集合函数を言う。点函数が劣加法的となることに似ている。

劣モジュラー ⊂ テンプレート:Ill2 ⊂ 劣加法的

定義

集合 テンプレート:Math 上の集合函数、すなわち テンプレート:Math の冪集合 テンプレート:Math を定義域とする写像 テンプレート:Math が劣加法的とは

$f(S\cup T)\le f(S)+f(T)(\mathrm{\forall }S,T\subset \mathrm{\Omega })$

を満たすときに言う。終域 テンプレート:Mvar は任意の順序集合にもとれるが、大抵は実数直線 テンプレート:Mathbf または非負実数直線 テンプレート:Math であるテンプレート:Sfnテンプレート:Page neededテンプレート:Sfnテンプレート:Page needed。

例

• 任意の非負劣モジュラー集合函数は劣加法的集合函数である。劣モジュラー函数全体の成す集合は劣加法的函数全体の成す集合を真に含まれる。
• 与えられた集合 テンプレート:Mvar を被覆するのに必要な集合の数を数える函数 テンプレート:Math は劣加法的である。具体的には、テンプレート:Math で ${\bigcup }_{i=1}^m{T}_i=\mathrm{\Omega }$ となるものを固定する。テンプレート:Mvar は各集合に対して、それを被覆するのに必要な テンプレート:Mvar の最小数を割り当てるもの、すなわち $$f(S):=\min \{t\mid \mathrm{\exists }{i}_1,\dots ,i_t\text{ s.t. }S\subset \bigcup _{j=1}^t{T}_{i_j}\}$$ とすれば、これは劣加法的になる。
• 任意の非負値加法的集合函数、特に測度は劣加法的であるテンプレート:Efn。
• より一般に、加法的函数テンプレート:Efnのあつまり テンプレート:Math から引数ごとに最大のものをとる函数 テンプレート:Math は劣加法的になるテンプレート:Efn。
  • このような函数は、以下の性質によって特徴付けられるテンプレート:Sfnテンプレート:Page needed:

    テンプレート:Ill2

    各 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math および テンプレート:Math が指示函数に関して テンプレート:Math を満たすならば必ず、テンプレート:Math を満たす。

  • 分割的劣加法集合函数は劣モジュラー集合函数の一般化であり、かつ特別な種類の劣加法的集合函数である。

参考文献

• テンプレート:Cite article
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外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM