友情のパラドックス

7〜8歳の子どもたちの社会的ネットワークの図。各児童に教室で隣に座りたい相手を2人挙げてもらうことで描画した。大多数の子どもは、自分がつながっている相手の平均よりも少ないつながりしか持っていない。

友情のパラドックス（ゆうじょうのパラドックス、テンプレート:Lang-en-short）とは、社会学者のScott L. Feldが1991年に最初に観察した現象であり、典型的には、ある個人の友人たちはその個人自身よりも多くの友人を持っているというものである。これは、より多くの友人を持つ人ほど自分の友人グループに含まれやすいという一種のサンプリングバイアスとして説明できる。言い換えれば、少数の友人しか持たない人は、他の個人の友人グループに含まれる機会が構造的に少ないためである。これに反して、ほとんどの人は自分の友人たちよりも多くの友人を持っていると信じている。

同じ観察は、友情以外の関係によって定義される社会的ネットワークにもより一般的に適用されている。例えば、多くの人の性的パートナーは、本人よりも（平均的に）多くの性的パートナーを持っていたことになる。

友情のパラドックスは、ネットワーク構造がいかに個人の局所的な観測を大きく歪めうるかを示す一例である。

数学的説明

一見パラドックス的に見えるこの現象は実際に存在し、社会的ネットワークの一般的な数学的性質の帰結として説明できる。その背後にある数学は、相加平均・相乗平均の不等式およびコーシー＝シュワルツの不等式に直接関連している。

形式的には、Feld は社会的ネットワークが無向グラフ テンプレート:Math で表されると仮定する。ここで、頂点の集合 テンプレート:Mvar は社会的ネットワークにおける人々に対応し、辺の集合 テンプレート:Mvar は人々のペア間の友情関係に対応する。すなわち、友情は対称関係であると仮定する。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の友人ならば、テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar の友人である。したがって テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の友情は辺 テンプレート:Math でモデル化され、個人が持つ友人の数は頂点の次数に対応する。したがって、社会的ネットワークにおけるある人の友人の平均数は、グラフ中の頂点の次数の平均として与えられる。すなわち、頂点 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 本の辺（テンプレート:Math 人の友人を持つ人を表す）に接しているとき、グラフ内の無作為な人の友人の平均数 テンプレート:Math は

$\mu =\frac{\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}=\frac{2|E|}{|V|}.$

典型的な友人が持つ友人の平均数は、無作為な人（少なくとも1人の友人を持つ）を選び、次にその人の友人たちが平均して何人の友人を持つかを計算することでモデル化できる。これは、グラフの辺（友人のペアを表す）とその端点（友人の一方）を一様無作為に選び、選ばれた端点の次数を再び計算することに相当する。ある頂点 $v$ が選ばれる確率は

$\frac{d(v)}{|E|}\frac{1}{2}.$

第1の因子は、選ばれた辺がその頂点を含む尤度に対応し、頂点がより多くの友人を持つほど増加する。半分にする因子は、単に各辺が2つの頂点を持つという事実から生じる。したがって、（無作為に選ばれた）友人の友人の数の期待値は

$\sum _v\left(\frac{d(v)}{|E|}\frac{1}{2}\right)d(v)=\frac{\sum _{v}d(v{)}^2}{2|E|}.$

分散の定義から、

$\frac{\sum _{v}d(v{)}^2}{|V|}={\mu }^2+{\sigma }^2,$

ここで ${\sigma }^2$ はグラフにおける次数の分散である。これにより所望の期待値は次のように計算できる。

$\frac{\sum _{v}d(v{)}^2}{2|E|}=\frac{|V|}{2|E|}({\mu }^2+{\sigma }^2)=\frac{{\mu }^2+{\sigma }^2}{\mu }=\mu +\frac{{\sigma }^2}{\mu }.$

次数が多様な頂点を持つグラフ（社会的ネットワークでは典型的）では、${\sigma }^2$ は厳密に正であり、これは友人の平均次数が無作為なノードの平均次数よりも厳密に大きいことを意味する。

第1項が現れるもう一つの理解の仕方は次の通りである。各友情 テンプレート:Mvar について、ノード テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar を友人として挙げ、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 人の友人を持つ。このように挙げる友人は テンプレート:Mvar 人存在する。ここから テンプレート:Mvar の2乗の項が生じる。ネットワーク内のすべての友情について テンプレート:Mvar 側と テンプレート:Mvar 側の双方の視点からこれを加算すると分子が得られる。分母はそのような友情の総数であり、ネットワークの全辺数の2倍（テンプレート:Mvar の視点から1回、テンプレート:Mvar の視点から1回）である。

この分析の後、Feld は同類混合などの社会的ネットワークの理論に基づいて、2人の友人が持つ友人の数の間の統計的相関についてさらに定性的な仮定を行い、これらの仮定が「友人たちの方が自分よりも多くの友人を持つ」人数について何を意味するかを分析した。この分析に基づき、彼は現実の社会的ネットワークではほとんどの人は友人たちの友人の数の平均よりも少ない友人しか持たない可能性が高いと結論づけた。しかし、この結論は数学的に確実なものではない。大きな完全グラフから1本の辺を取り除いてできるグラフのような、社会的ネットワークとして生じる可能性は低いものの、ほとんどの頂点が近傍の次数の平均より高い次数を持つ無向グラフも存在する。

友情のパラドックスは、グラフ理論の用語では「ネットワーク内の無作為に選択されたノードの平均次数は、無作為に選択されたノードの近傍の平均次数よりも小さい」と定式化できるが、これは平均化の正確な機構（マクロ平均かミクロ平均か）を特定しない。$G=(V,E)$ を孤立ノードを持たない、$|V|=N$、$|E|=M$ の無向グラフとする。ノード テンプレート:Mvar の近傍の集合を $\mathrm{nbr}(u)$ と表す。平均次数は $\mu =\frac{1}{N}\sum _{u\in V}|\mathrm{nbr}(u)|=\frac{2M}{N}\ge 1$ である。ノード テンプレート:Mvar の「友人の友人」の数を $\mathrm{FF}(u)=\sum _{v\in \mathrm{nbr}(u)}|\mathrm{nbr}(v)|$ と表す。これは2ホップ先の近傍を重複して数えうるが、Feld の分析も同様である。$\mathrm{FF}(u)\ge |\mathrm{nbr}(u)|\ge 1$ が成り立つ。Feld が考えたのは次の「ミクロ平均」量である。

$\text{MicroAvg}=\frac{\sum _{u\in V}\mathrm{FF}(u)}{\sum _{u\in V}|\mathrm{nbr}(u)|}$

しかし、(同等に正当な)「マクロ平均」という量もあり、次で与えられる。

$\text{MacroAvg}=\frac{1}{N}\sum _{u\in V}\frac{\mathrm{FF}(u)}{|\mathrm{nbr}(u)|}$

MacroAvg の計算は次の擬似コードで表現できる。

1. 各ノード $u\in V$ について
   1. $Q(u)\leftarrow 0$ と初期化する
2. 各辺 $\{u,v\}\in E$ について
   1. $Q(u)\leftarrow Q(u)+\frac{|\mathrm{nbr}(v)|}{|\mathrm{nbr}(u)|}$
   2. $Q(v)\leftarrow Q(v)+\frac{|\mathrm{nbr}(u)|}{|\mathrm{nbr}(v)|}$
3. $\frac{1}{N}\sum _{u\in V}Q(u)$ を返す

各辺 $\{u,v\}$ は MacroAvg に $\frac{|\mathrm{nbr}(v)|}{|\mathrm{nbr}(u)|}+\frac{|\mathrm{nbr}(u)|}{|\mathrm{nbr}(v)|}\ge 2$ という量を寄与する。なぜなら $\underset{a,b>0}{min}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$ だからである。したがって、

$\text{MacroAvg}=\frac{1}{N}\sum _{u\in V}Q(u)\ge \frac{1}{N}\cdot M\cdot 2=\frac{2M}{N}=\mu$.

こうして $\text{MicroAvg}\ge \mu$ と $\text{MacroAvg}\ge \mu$ の双方が成り立つが、両者の間に不等式は成り立たない。

2023年の論文では、否定的・敵対的・反目関係の結びつきに関する並行するパラドックスとして「敵意のパラドックス (enmity paradox)」が Ghasemian とクリスタキスによって定義され実証された。要するに、自分の敵は自分よりも多くの敵を持っているのである。この論文は敵対的と友好的の双方の結びつきが混在する「混合世界」における多様な現象も記録している。

応用

友情のパラドックスの分析は、無作為に選択された個人の友人たちが平均以上の中心性を持つ可能性が高いことを示唆する。この観察は、感染症の流行の予測と抑制の手法として利用されてきた。無作為選択の過程を利用して免疫化や感染監視の対象個人を選ぶことで、ネットワーク内の全ノードの中心性を複雑に計算する必要を回避できるからである。同様に、世論調査や選挙予測では、他の多数の人々がどう投票するかについて知識を持ちうる、よくつながった個人に到達して意見を聴取するために友情のパラドックスが利用されてきた。しかし、こうした文脈で利用される場合、友情のパラドックスは多くの友人を持つ個人を過剰に代表させることで不可避的にバイアスを導入し、推定結果を歪める可能性がある。

2010年に Christakis と Fowler が行った研究では、社会的ネットワーク内の感染を監視する際に友情のパラドックスを利用することで、インフルエンザの流行を従来の監視手段より約2週間早く検出できることが示された。彼らは、中心的な友人たちの健康を分析するのに友情のパラドックスを利用することが「流行を予測する理想的な方法だが、詳細な情報はほとんどの集団には存在せず、それを生成するには時間と費用がかかる」ことを見出した。これはアイデアの伝播にも及び、友情のパラドックスがネットワークを通じたアイデアや誤情報の拡散を追跡・予測するのに使えるという証拠がある。この観察は、より多くの社会的つながりを持つ個人がこうしたアイデアや信念の拡散の原動力となりうるため、早期警戒信号として利用できるという議論で説明されてきた。

友情のパラドックスに基づく標本抽出（すなわち無作為な友人の抽出）は、冪乗則次数分布を持つスケールフリーネットワークを推定する目的において、古典的な一様抽出を理論的・経験的に上回ることが示されている。その理由は、ネットワークを一様に抽出すると、冪乗則次数分布の特徴的な重い裾部分から十分な標本が集まらず、正しく推定できないためである。しかし、無作為な友人の抽出では、次数分布の裾からのノード（すなわち高次数のノード）がより多く標本に取り込まれる。したがって、友情のパラドックスに基づく抽出は冪乗則次数分布の特徴的な重い裾をより正確に捉え、推定のバイアスと分散を低減する。

「一般化友情のパラドックス」は、友情のパラドックスが他の特性にも当てはまるという主張である。例えば、共著者は平均してより著名で、より多くの出版物・被引用数・共同研究者を持つ傾向があり、Twitter のフォロワーはより多くのフォロワーを持つ。同じ効果は Bollen ら (2017) によって主観的幸福感についても実証されており、彼らは大規模な Twitter ネットワークとネットワーク内の各個人の主観的幸福感に関する縦断データを用いて、オンラインの社会的ネットワークでは友情と「幸福」の両方のパラドックスが起こりうることを示した。

友情のパラドックスはまた、人的福祉と公衆衛生に関わる多様な実践の社会的感染を増幅するために、社会的ネットワーク内の構造的に影響力のあるノードを特定する手段としても用いられてきた。これは、クリスタキスらが実施したいくつかの大規模無作為化比較試験（フィールド試験）において、ホンジュラスでのマルチビタミン摂取や母子保健実践、インドでの鉄強化塩の採用に関して実証されている。この技法は、友情のパラドックスを利用することで、ネットワーク全体を実際に地図化する費用や時間を要することなく、影響力のあるノードを特定できるという利点がある。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:Cite news