同変コホモロジー上の局所化公式

軌道体 $M$ に代数的トーラス $T$ が代数的に作用しているとする。また、その $T$ 固定点は有限集合であると仮定する。このとき局所化公式（Localization formula）は、$M$ 上の任意の同変閉形式 $\alpha$ 及び、十分に小さな $\xi \in Lie(T)$ に対し、次のことが成り立つことを主張する。

$\frac{1}{d_M}\underset{M}{\int }\alpha (\xi )=\sum _F\frac{1}{d_F}\underset{F}{\int }\frac{\alpha (\xi )}{e_T(F)(\xi )}$

ここで、和は $T$ 固定点 $M^T$ の全ての連結成分 $F$ に渡り、$d_M$ は $M$ の $T$ 同変重複度、$e_T(F)$ は $F$ の法束の同変オイラー類を表す。

局所化公式の重要性は、$M$ のトーラス作用の固定点の同変コホモロジー環（特定の可微分代数的スタック）の情報から、重複度とオイラー形式の違いを除いて、軌道体 $M$ の同変コホモロジー環を計算可能であるという点にある。但し、同様の結果は、非可変コホモロジーにおいては成り立たない。

局所化公式の主要な帰結の一つは、Duistermaat–Heckmanの定理として知られている。即ち、コンパクトな $2n$ 次元シンプレクティック多様体 $M$ 上にハミルトニアン $S^1$ 作用が存在するとき

$\underset{M}{\int }{e}^{-tH}{\omega }^n/n!=\sum _p\frac{e^{-tH(p)}}{t^n\prod {\alpha }_j(p)}.$

但し、和は $S^1$ 作用の固定点全体に渡り、$H$ は $S^1$ 作用に対するハミルトニアン、${\alpha }_j(p)$ は接空間 $T_{p}M$ 上の $S^1$ 作用の重みである。(Lie groupを参照)

局所化公式は、余随伴軌道上のKirillov-Kostant-Souriauシンプレクティック形式のフーリエ変換に対しても適用される。この場合、局所化公式はHarish-Chandraの積分公式に帰着し、結果として、Kirillovの指標公式の証明を与える。

また、非有理係数における同変コホモロジーの局所化については、ダニエル・キレンの論文において議論されている。

非可換局所化

局所化定理は、多様体の同変コホモロジーが、捻れ元の違いを除いて、その固定点集合の同変コホモロジーから復元されることを主張する。同様のことは非可換作用に対しては成立しないが、類似の局所化定理が存在する。

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation; テンプレート:Citation