増分定理

数学の一分野、超準解析における増分定理（ぞうぶんていり、テンプレート:Lang-en-short; 増分の定理）は、無限小に対する可微分函数の増分が微分係数に無限に近いことを述べるものである。これを通常の微分積分学（標準解析）において述べたものは実質的に平均値の定理（有限増分の定理、あるいは一次の場合のテイラーの定理）である。

定理の主張

定理 (増分の定理)

実函数 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar において微分可能とする（以下、テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar は固定する）。テンプレート:Mvar が無限小超実数であるとき、テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar の増分を テンプレート:Math とすれば、テンプレート:Mvar に対して適当な無限小 テンプレート:Mvar が存在して $$\mathrm{\Delta }𝑦=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }𝑥+\epsilon \mathrm{\Delta }𝑥$$ が成り立つようにできる。

ここで テンプレート:Math であるならば、両辺を テンプレート:Mvar で割って $$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x)+\epsilon$$ と書くことができるから、これは商 テンプレート:Mvar が微分係数 テンプレート:Math に無限に近いこと（テンプレート:Math）を述べるものとみることができる。特に テンプレート:Math は標準実数であるから、テンプレート:Math は商 テンプレート:Mvar の テンプレート:Ill2である: テンプレート:Math。

注意

この定理の標準版は以下のように述べることができる。同じように テンプレート:Math は テンプレート:Mvar において微分可能であるとして テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar は固定する。しかし今度は テンプレート:Mvar は任意の非零実数値をとる一つの変数と考える。そうして テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar の増分を上と同じ式 テンプレート:Math で定義すれば、これは（いま テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar は止めているから）テンプレート:Mvar のみの函数であることに注意する。このような設定の下で、テンプレート:Mvar に対して適当な正数 テンプレート:Mvar が存在して $$\mathrm{\Delta }𝑦=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }𝑥+\epsilon \mathrm{\Delta }𝑥$$ が成り立つようにできる。ただし、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の函数として $\underset{\mathrm{\Delta }𝑥\to 0}{\lim }\epsilon =0$ を満たすものでなければならない。

関連項目

• Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book