多角数定理

テンプレート:出典の明記 テンプレート:読み仮名とは「すべての自然数は高々 テンプレート:Mvar 個の テンプレート:Mvar 角数の和である」という数論の定理である。

特に テンプレート:Math の場合を（ガウスの）三角数定理、テンプレート:Math の場合を（ラグランジュの）四平方定理という。

多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。

多角数

k 番目の m 角数とは、次の公式

$P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}$

で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に k 個ある正 m 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が k 番目の m 角数になっている。

これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。

例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, … のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, … に他ならない。1番目の m 角数は 1 であり、2番目の m 角数は m である。

精密化

N = 2m - 1 を表すには P_m(2) + (m - 1)P_m(1) とするより他にないから、m 個未満の m 角数の和では表されない自然数がある。N = 9n + 8 は二個の三角数の和で表されない（法 9 の計算で自明）から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。N = 8n + 7 は三個の四角数の和で表されない（法 8 の計算で自明）から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、m 個未満の m 角数で表されない自然数は有限個である。m ≥ 6 のとき、十分に大きな自然数 N ≥ 108(m - 2) は m - 1 個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数 $N\ge \frac{4(m-2{)}^3}{14-4\sqrt{3}}$ は四個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 $N\ge \frac{(m-2{)}^3}{14-4\sqrt{3}}$ は四個の m 角数の和で表される。

証明

三角数

三平方和定理により

$8N+3=(2x+1{)}^2+(2y+1{)}^2+(2z+1{)}^2$

と表されるから

$N=\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2}$

となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。

四角数

四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。

五角数以上

十分大きな N に対してのみ証明する。m ≥ 5, N ≥ 108(m - 2) とすれば

$\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}-\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>3.86>\frac{23}{6}$

であるから

$0<\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}<2d\pm 1<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}$

となる二個の奇数 2d ± 1 が存在する。 N ≡ b + r (mod m - 2) となるように

$b\in \{2d\pm 1\},r\in \{e\in \mathbb{Z}|0\le e\le m-4\}$

を選び、

$a=2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b$

とする。a, b は共に奇数であるから、4a - b² ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 8) であり、三平方和定理により、

$4a-b^2=x^2+y^2+z{\text{'}}^2$

となる三個の奇数 x ≥ y ≥ z′≥ 0 が存在する。b + x + y - z ≡ 0 (mod 4) となるように z = ± z′の符号を決め、

$w_1=\frac{b+x+y-z}{4}$

$w_2=w_1-\frac{y-z}{2}=\frac{b+x-y+z}{4}$

$w_3=w_1-\frac{x-z}{2}=\frac{b-x+y+z}{4}$

$w_4=w_1-\frac{x+y}{2}=\frac{b-x-y-z}{4}$

とすれば

$w_1+w_2+w_3+w_4=b$

$w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=\frac{b^2+x^2+y^2+z^2}{4}=a$

$\begin{array}{cc}N& =\frac{(m-2)a-(m-4)b}{2}+r\\ & =\frac{(m-2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2)-(m-4)(w_1+w_2+w_3+w_4)}{2}+r\\ & =P_m(w_1)+P_m(w_2)+P_m(w_3)+P_m(w_4)+r{P}_m(1)\end{array}$

となる。ただし

$P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}$

とする。0 ≤ r ≤ m - 4 であるから、w_n ≥ 0 であれば N ≥ 108(m - 2) が高々 m 個の m 角数で表されることになる。以下において w_n ≥ 0 であることを証明する。

$b<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}<2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{8N-8r}{m-2}}=b^{\prime }(\Leftarrow m\ge 5,r\le m-4)$

であるから

$\begin{array}{cc}{b}^2-4a& =b^2-4(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b)\\ & ={(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right))}^2-4{\left(\frac{m-4}{m-2}\right)}^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\ & <{(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right))}^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\ & <{(b^{\prime }-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right))}^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)=0\\ \end{array}$

である。同時に

$b>\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2})+\sqrt{\frac{6N-6r}{m-2}-3}=b^{″}(\Leftarrow m\ge 5)$

であるから

$\begin{array}{cc}{b}^2+2b+4-3a& =b^2+2b+4-3(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b)\\ & ={(b-(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}))}^2-{(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2})}^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+4\\ & >{(b-(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}))}^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3\\ & >{(b^{″}-(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}))}^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3=0\\ \end{array}$

である。4a - b² = x² + y² + z² を固定して x + y + z が最大となるのは x = y = z のときであるから

$x+y+z\le \sqrt{3(4a-b^2)}<\sqrt{4(b^2+2b+4)-3b^2}=b+4$

$b-x-y-z>-4$

w₄ は整数であるから

$w_4=\frac{b-x-y-z}{4}\ge 0$

x ≥ y ≥ |z| により

$w_1\ge w_2\ge w_3\ge w_4\ge 0$

である。

平方数と三角数の和

三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

$8N+1=(2x+1{)}^2+(2y{)}^2+(2z{)}^2$

$N=\frac{x(x+1)}{2}+{\left(\frac{y+z}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y-z}{2}\right)}^2$

となる x, y, z が存在する。法 8 で考え、y, z は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

$4N+1=(2x+1{)}^2+(2y{)}^2+(2z{)}^2$

$N=\frac{(2x+1{)}^2+(2y{)}^2+(2z{)}^2-1}{4}=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+\frac{(x-y)(x-y+1)}{2}+z^2$

となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。

2008年4月23日、Oh, Sunらは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。

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