完全加法的集合関数

テンプレート:正確性 数学の分野、とくに測度論において、ある与えられた集合の部分集合上で定義される関数の有限加法性（かほうせい、テンプレート:Lang-en-short）および テンプレート:Mvar-加法性（シグマかほうせい、テンプレート:Lang-en-short）は、集合の大きさ（長さ、面積、体積）についての直感的な性質に関する抽象概念である。テンプレート:Mvar-加法性は可算加法性（かさんかほうせい、テンプレート:Lang-en-short）、完全加法性（かんぜんかほうせい、テンプレート:Lang-en-short)テンプレート:Efn とも呼ばれる。

有限加法的集合関数

テンプレート:Mvar を有限加法族 $𝒜$ 上で定義され補完数直線 テンプレート:Math2 に値を取る関数とする。関数 テンプレート:Mvar が有限加法的であるとは、$𝒜$ 内の任意の互いに素な集合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に対して

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

が成立することを言う（その帰結として、テンプレート:Math が定義されないままにするために、一つの加法的関数は テンプレート:Math と テンプレート:Math の両方ともを値として取ることはできない）。

数学的帰納法により、$𝒜$ 内の任意の互いに素な集合 テンプレート:Mathに対して、加法的関数は

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^N{A}_n\right)=\sum _{n=1}^N\mu (A_n)$

を満たすことが分かる。これを有限加法性という。

加法的集合関数

$𝒜$ を [[完全加法族|テンプレート:Mvar-代数]]とする。テンプレート:Mvar を $𝒜$ から R への写像とするテンプレート:Efn。$𝒜$ 内の任意の互いに素な集合の列 テンプレート:Math に対し

（完全加法性）$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$

が成立するとき、テンプレート:Mvar は完全加法的、可算加法的、あるいはテンプレート:Mvar-加法的であると言い、テンプレート:Mvar を完全加法的集合関数あるいは加法的集合関数などと言う。

任意の加法的集合関数は、有限加法的であるが、その逆は成立しない。そのような反例については後述を参照されたい。

性質

基本性質

加法的関数 テンプレート:Mvar の有用な性質として、以下が挙げられる：

1. テンプレート:Math
2. テンプレート:Mvar が非負で、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math が成り立つ。
3. テンプレート:Math で、テンプレート:Math が定義されるならば、テンプレート:Math が成り立つ。
4. 与えられた テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math が成り立つ。

例

加法的集合関数の一例として、実数全体の成す集合 テンプレート:Math の冪集合 テンプレート:Math 上で定義される次のような関数 テンプレート:Mvar が考えられる：

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ if }0\in A\\ 0& \text{ if }0\notin A.\end{array}$

テンプレート:Math を、テンプレート:Math に含まれる互いに素な集合の列とする。このとき、それらのどれも テンプレート:Math を含まないか、どれか一つだけが テンプレート:Math を含む二通りの場合が考えられる。いずれの場合でも、等号

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$

が成り立つため、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar-加法的関数である。

テンプレート:Mvar-加法的関数のその他の例については、測度および符号付測度の記事を参照されたい。

有限加法的であるが テンプレート:Mvar-加法的でない関数の例として、上述の例から少し変更を加えた、次のような実数の冪集合で定義される関数 テンプレート:Mvar が考えられる：

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ if }0\in \overline{A}\\ 0& \text{ if }0\notin \overline{A}\end{array}$

ここで、上付きのバーは閉包を表す。

この関数が有限加法的であることを確かめるためには、有限数の集合の合併の閉包はそれら各集合の閉包の合併に等しいという性質と、各集合の閉包に テンプレート:Math が含まれるか否かという点に注目すれば、すぐに分かる。この関数が テンプレート:Mvar-加法的ではないことを確かめるためには、テンプレート:Math に対して互いに素な集合の列

$A_n=[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n})$

を考えれば良い。これらの集合の合併は開区間 テンプレート:Math でありその閉包は テンプレート:Math であるため、そのような合併に対して関数 テンプレート:Mvar は値 テンプレート:Math を取る。しかし、各区間毎に対する関数 テンプレート:Mvar の値は テンプレート:Math であるため、そのような テンプレート:Math の和も テンプレート:Math となる。したがって、テンプレート:Mvar は上述の定義の等式を満たさず、テンプレート:Mvar-加法的ではない。

一般化

任意の加法的なモノイド（例として、任意の群やより一般的なベクトル空間が挙げられる）に値を取る有限加法的関数を定義することが出来る。テンプレート:Mvar-加法性については、さらに列の極限の概念がその集合上で定義される必要がある。例えば、テンプレート:仮リンクはバナッハ代数に値を取る テンプレート:Mvar-加法的関数である。また別の例として、量子力学の分野におけるテンプレート:仮リンクが挙げられる。

関連項目

• 符号付測度
• 測度
• 加法的関数
• 劣加法性
• ホップの拡張定理

参考文献

• テンプレート:Cite book
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