差商に対する平均値の定理

解析学における差商に対する平均値の定理（へいきんちのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、平均値の定理を高階導函数に対するものへ一般化する。

定理の主張

平均値の定理

どの二つも相異なる テンプレート:Math 個の点 テンプレート:Math を含む定義域上で テンプレート:Mvar 回微分可能な函数 テンプレート:Mvar に対し、内点 $$\xi \in (\min \{x_0,\dots ,x_n\},\max \{x_0,\dots ,x_n\})$$ が存在して、その点での テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-階微分係数が、与えられた点における テンプレート:Mvar-次差商の テンプレート:Math-倍に等しい。式で書けば $$f[x_0,\dots ,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}$$ が成り立つ。

テンプレート:Math のとき、上記の主張は函数の二点間の値に対する、通常の平均値の定理である。

応用

差商に対する平均値定理を用いれば、テンプレート:Ill2を多変数に一般化することができる。