極限定理

極限定理(きょくげんていり,テンプレート:Lang-en-short)とは塑性変形における極限解析の基礎となる定理で、上界定理（じょうかいていり、Upper bound theorem）と下界定理（かかいていり、Lower bound theorem）がある。また、確率・統計学では、中央極限定理がある。中央極限定理の特別な場合が、Laplaceの極限定理（ラプラスの定理）である。

上界定理と下界定理により定式化された極限解析から、極限荷重の上界値と下界値をそれぞれ求めることができる。もし、極限荷重の上界値と下界値が一致すれば、それが真の極限荷重となる。構造が複雑になり、極限荷重の上界値と下界値が一致しなくても、真の極限荷重はそれらの間にあることが分かるので、およその値は推測できる。

上界定理

物体力をf_i 、応力境界面の表面力をT_i 、変位速度を${\dot{u}}_i$、ひずみ速度を${\dot{\epsilon }}_{ij}$とする。

外力（f_i , T_i ）との仕事率が正となる、変位速度境界条件と変形の適合条件を満たす（運動学的に許容な）${\dot{u}}_i,{\dot{\epsilon }}_{ij}$について、以下の式を与える。

$\alpha \{\underset{V}{\int }{f}_i{\dot{u}}_{i}dV+\underset{S_{\sigma }}{\int }{T}_i{\dot{u}}_{i}dS\}=\underset{V}{\int }{\sigma }_{ij}{\dot{\epsilon }}_{ij}dV$

このとき、αは真の崩壊荷重係数α^* の上界値を与える。すなわち、

$\alpha \ge {\alpha }^{*}$

となる。ただし、応力σ_ij は、与えられたひずみ速度${\dot{\epsilon }}_{ij}$に対して、直交則を満たす応力場である。

上界定理による極限解析は、運動学的制約条件（変形の適合条件と流れ則）と外力仕事率が 1 であるという条件の下で、内部消散率を最小化する最適化問題に帰着する。

下界定理

与えられた荷重系について、釣り合い式と応力境界条件を満たす（静力学的許容な）応力場が、降伏条件を破らない（静力学的可容な）とき、荷重係数は真の崩壊荷重係数の下界値を与える。すなわち、

$\alpha \le {\alpha }^{*}$

となる。ここで、αは荷重係数、α^* は真の崩壊荷重係数である。

下界定理による極限解析は、静力学的制約条件(力の釣り合い式と降伏条件)の下で、荷重係数を最大化する最適化問題に帰着する。

参考文献

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関連項目

• 降伏 (物理)
• 流れ則
• 最適化問題
• 塑性