概素数

数論において与えられた自然数が概素数（がいそすう、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、適当な自然数テンプレート:Mvar を選べばその自然数の素因数の（重複度を含めた）個数が高々テンプレート:Mvar 個となることを言う^[1]^[2]。テンプレート:Efn2 テンプレート:Efn2

注: テンプレート:Mvar は任意の値をとれるが、テンプレート:Mvar の値に応じて概素数の概念が決まることに留意すべきである。どんなに大きな自然数テンプレート:Mvar に対してもそれに対応する概素数の概念を考えることができるから、明らかにすべての自然数が（何らかのテンプレート:Mvar に対する）概素数であり、テンプレート:Mvar と無関係に扱うことは無意味である。

定義

テンプレート:Mvar はテンプレート:Math または素数であって必ずしも異なる必要はないものとし、テンプレート:Mvar は自然数の定数として、自然数テンプレート:Mvar が $n = p_{1} \cdot p_{2} \dots p_{K}$ と書けるとき、テンプレート:Mvar は概素数であると言う。テンプレート:Mvar を具体的に一つ決めたとき、素因数の数が重複度を込めて高々テンプレート:Mvar であるような概素数全体の成すクラスをテンプレート:Mvar とすることがある^[3]。テンプレート:Efn2 テンプレート:Efn2

上で「高々テンプレート:Mvar 個」としていた部分を「ちょうどテンプレート:Mvar 個」と置き換えることもできる。すなわち

自然数テンプレート:Mvar が素数テンプレート:Mvar（必ずしも異なる必要はない）と自然数の定数テンプレート:Mvar を用いて

n = p_{1} \dots p_{k}

の形に書けるならば、テンプレート:Mvar は概素数であるという^[4]。

そして具体的にテンプレート:Mvar を一つ決めるごとに テンプレート:Mvar-概素数の概念が定まる（上では「概素数」という名称をテンプレート:Mvar の値を特定しないテンプレート:Mvar-概素数の総称的な意味で用いているとも理解できる）。自然数テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar-概素数となるための必要十分条件は、その素因数が重複度を込めてちょうどテンプレート:Mvar 個となることである。テンプレート:Mvar-概素数全体の成すクラスをテンプレート:Mvar と書く。テンプレート:Efn2 テンプレート:Efn2

テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の素因数分解に現れる（必ずしも相異ならない）素数の総数を与える数論的函数 $Ω (n) : = \sum a_{i} (n = \prod p_{i}^{a_{i}})$ とすれば、より具体的に「テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar-概素数であるための必要十分条件はテンプレート:Math となることである」と述べることができる。
自然数が素数となる必要十分条件はそれがテンプレート:Math-概素数となることであり、同様に半素数となるための必要十分条件はそれがテンプレート:Math-概素数となることである。
最小のテンプレート:Mvar-概素数は [[2の冪|テンプレート:Math]] である。

テンプレート:Mvar 以下の自然数テンプレート:Mvar でその素因子（相異なる必要はない）の数が高々テンプレート:Mvar 個（最初の定義の意味でテンプレート:Math）であるようなものの数テンプレート:Math は $π_{K} (n) \sim (\frac{n}{\log n}) \frac{(\log \log n)^{K - 1}}{(K - 1)!}$ と漸近する^[5]（これはランダウの結果である）。テンプレート:仮リンクも参照せよ。