点付き集合

数学における点付き集合（てんつきしゅうごう、付点集合、テンプレート:Lang-en-short）あるいは基点付き集合 (テンプレート:En) や根付き集合 (テンプレート:En) は、集合 テンプレート:Mvar とその特定の元 テンプレート:Math との対 テンプレート:Math を言う。このとき、特定の元 テンプレート:Math はこの点付き空間の基点 (テンプレート:En) と呼ばれる。

「根付き集合」("rooted set") としてのこの概念はテンプレート:仮リンクの研究やテンプレート:仮リンクの研究において自然に生じてくる。

点付き集合の間の射は、基点付き写像 (テンプレート:En) や点付き写像 (テンプレート:En) あるいは基点を保つ写像 (テンプレート:En) と呼ばれ、台となる集合の間の写像であって、一方の基点を他方の基点へ写すものを言う。具体的に、点付き集合 テンプレート:Math から テンプレート:Math の間の点付き写像

$f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$

とは、写像 テンプレート:Math で テンプレート:Math を満たすものである。

点付き集合は離散位相を備えた点付き空間と見ることもできるし、一元体上のベクトル空間と見なすこともできる。

代数的構造

点付き集合は、きわめて単純な代数的構造と考えることができる。それは普遍代数学における意味で、基点を選び出すという一つの零項演算を持つ代数系ということである。

多くの代数的構造が凡そ自明な仕方で点付き集合と見なすことができる。例えば、群は単位元を基点に選んで点付き集合と見れば、ちょうど群準同型が点付き写像となっていることが見て取れるテンプレート:Rp。このような観察は、圏論的な言い方をすれば、群の圏から点付き集合の圏へのテンプレート:仮リンクがあると言い換えられるテンプレート:Rp。

点付き集合の圏

全ての点付き集合の成す類は、すべての点付き写像の成す類を伴って圏を成す。この圏 テンプレート:Math において、点付き一元集合 テンプレート:Math は始対象かつ終対象したがって零対象テンプレート:Rpである。通常の集合の圏 テンプレート:Math から点付き集合の圏への忠実函手が存在するが、それは充満にならず、この二つの圏は圏同値でないテンプレート:Rp。特に、空集合は（基点を選ぼうにも、元をそもそも持たないため）点付き集合にすることができない。

点付き集合の圏 テンプレート:Math は、集合と部分写像の圏に圏同値だがテンプレート:仮リンクでない。 ある教科書は「集合と部分写像に関して「仮想の」あるいは「無限遠の」元を付け加えることで得られる、この形式的完備化は、特に位相空間論（テンプレート:仮リンクとして）や理論計算機科学において、何度も再発見されてきたものである。」ということを注意している。

点付き集合の圏 テンプレート:Math はテンプレート:仮リンク テンプレート:Math（ただし テンプレート:Math は任意の単元集合）に同型であるテンプレート:Rp。

点付き集合の圏 テンプレート:Math は積と余積をともに持つが、テンプレート:仮リンクではない。また、この圏は零対象 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が テンプレート:Math に同型でない圏の例ともなる。

関連項目

• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• http://mathoverflow.net/questions/22036/pullbacks-in-category-of-sets-and-partial-functions
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Nlab