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完備半束に対するデデキント・マクニール完備化は完備半束を集合族（と包含関係及び合併のなす完備半束）として表現していると思える。この構成を任意の[[閉包作用素]]に一般化することが出来る。 完備束 <math>P</math> 上に[[閉包作用素]] <math>cl\colon P\to P</math> （つまり、 <math>p\le cl(p)</math> 、<math>cl\circ …

{{main|閉包作用素}} ; 対象: 集合 ''X'' とその上の[[閉包作用素]] cl との組 (''X'', cl) （閉包空間）のすべて。閉包作用素 cl: ''P''(''X'') → ''P''(''X'') とは、[[クラトフスキーの閉包公理]] …

…・「含む」・「最小」・「閉」をそれぞれ「内部」・「部分集合」・「合併」・「含まれる」・「最大の」・「開」に置き換えたものもやはり成立する。詳細は[[#閉包作用素|後述]]。 == 閉包作用素 == …

の成り立つという意味で[[閉包作用素]] ^— の双対である。ここで ''X'' は ''S'' を含む位相空間であり、バックスラッシュは[[差集合]]を表す。 [[Category:閉包作用素]] …

アフィン空間 ''A'' の部分集合全体の成す族において、アフィン包をとる操作は[[閉包作用素]]になる。 [[Category:閉包作用素]] …

と定義できる。これは{{仮リンク|閉包作用素|en|Hull operator}}と解釈できる。 …

[[Category:閉包作用素]] …

=== 閉包作用素 === …var|L}} 上の写像 {{Math|''c'': ''L'' → ''L''}} が以下の条件を満たすとき、{{Mvar|c}} を{{仮リンク|閉包作用素|en|closure operator}}と言う<ref>{{Cite journal|last=Ward|first=Morgan|date=194 …

任意の開核代数は、その開核作用素・[[閉包作用素]]を、位相集合体のもつ位相に関する開核作用素・閉包作用素に対応付けて、位相集合体として表現することができる。 …

…/下方閉包を取る操作を <math>X</math> の冪集合からの自身への関数と見なしたとき、[[クラトフスキーの閉包公理]]を全て満たすため、[[閉包作用素]]の一例となっている。その結果、ある集合の上方閉包は、その集合を含む全ての上方集合の交叉に等しくなり、下方集合についても同様である。(実際、これは閉包 …

[[Category:閉包作用素]] …

[[カテゴリ:閉包作用素]] …

…合 ''U'' について ''U'' の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を与える写像は、''X''の[[冪集合]]における冪等写像である。これは[[閉包作用素]]の例であり、全ての閉包作用素は冪等写像である。 …

[[Category:閉包作用素]] …

…間は[[零化域]]へ一般化され、内積空間の部分空間上の{{仮リンク|ガロア対応|en|Galois connection}}を、対応する{{仮リンク|閉包作用素|en|closure operator}}とともに与える。 …

より抽象的に言えば、凸包をとる作用素 Conv() は[[閉包作用素]]を特徴づける三性質： [[Category:閉包作用素]] …

の三性質が成り立つ、つまり線型包を取る操作は[[閉包作用素]]である{{sfn|Lau|2011|loc={{google books quote|id=rZEhBAAAQBAJ|page=162|Satz… …

…た定義が採用されることが多い。他に、{{仮リンク|クラトフスキー閉包作用素|en|Kuratowski closure operator|label=閉包作用素}} {{math|cl}} や[[開核作用素]] {{math|int}} も位相を定めるが、以下の条件も連続性と同値である。 …

* 写像<math>A\subset X \mapsto \bar{A}</math>を'''閉包作用素'''という<ref name="内田68" />。 …