眼球定理

眼球定理:二つの赤い弦の長さは等しい。また二つの青い弦の長さも等しい。

眼球定理（がんきゅうていり、テンプレート:Lang-en-short）は、初等幾何学における二つの円に関する定理。

主張

眼球定理の主張は次の通り。

中心がそれぞれ$P,Q$である2つの円$c_P,c_Q$が、どちらかがもう一方の円の中心を内包していない位置にあるとする。$P,Q$を端点とする$c_Q,c_P$に接する2半直線とそれぞれ、$c_P,c_Q$の交点を$A,B$、$C,D$としてそれらが成す弦について$|AB|=|CD|$が成り立つ。

眼球定理は、1960年、ペルーの数学者であるアントニオ・グティエレス（テンプレート:Lang）が発見した。しかし、Eyeball theoremという名が出現する以前の1938年、G.W.エヴァンス（Evans）が問題提起と解決をしていた。エヴァンスはまた、眼球定理は以前に試験で出題されたものだと述べている。

眼球定理を発展させると、$FJ$を$P,Q$を通る$c_P,c_Q$の接線の接点を結んだ直線、$F^{\prime },J^{\prime }$をそれぞれ$FJ$と$c_P,c_Q$の第二交点として$|F{F}^{\prime }|=|J{J}^{\prime }|$が成り立つことが分かる。

眼球定理の証明はいくつか知られている。中には丸山良寛の定理の延長として証明するものもある。

証明

図において$\mathrm{△}OAI\sim \mathrm{△}O{O}^{\prime }T$より$\frac{AI}{r}=\frac{r^{\prime }}{O{O}^{\prime }}$。したがって$AB=\frac{2r{r}^{\prime }}{O{O}^{\prime }}$。同様にして$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{2r{r}^{\prime }}{O{O}^{\prime }}=AB$が示される。。

関連する定理

1842年の愛知県の算額によれば、図の様に、円と、もう一方の円に対して円の反対側の点を通るもう一方の円の接線に接する円の半径は等しい。

関連項目

• 丸山良寛の定理

参考文献

• Antonio Gutierrez: Eyeball theorems. In: Chris Pritchard (ed.): The Changing Shape of Geometry. Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching. Cambridge University Press, 2003, ISBN 9780521531627, pp. 274–280

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• Eyeball Theorem at Geometry from the Land of the Incas