節 (論理学)

テンプレート:Other uses 論理学において、節（せつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、（原子論理式あるいはその否定である）リテラルの有限な集まりと論理結合子から形成される命題論理式である。節は、それを構成するリテラルのうち少なくとも一つが真であるときにはいつでも真となる（選言節と呼ばれ、この用語の最も一般的な用法である）か、あるいは、それを構成するすべてのリテラルが真であるときに真となる（連言節と呼ばれ、この用語のあまり一般的でない用法である）。すなわち、文脈に応じて、リテラルの有限選言あるいは連言である。節は通常、次のように書かれる。ここで記号 $l_i$ はリテラルである。

$l_1\vee \cdots \vee l_n$

空節

節は（空のリテラルの集合から定義されて）空でありうる。空節は $\mathrm{\varnothing }$、$\mathrm{\perp }$、$◻$ のようなさまざまな記号で表される。空の選言節の真理評価は常に偽である。これは、偽がモノイド $(\{\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e},\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}\},\vee )$ の単位元であることを考えれば正当化される。

空の連言節の真理評価は常に真である。これは空虚な真という概念に関連している。

含意形式

すべての空でない（選言）節は、頭部を本体からの含意として論理的に同値な形で表すことができる。ここで頭部は節の任意のリテラルであり、本体は他のリテラルの補元の連言である。すなわち、ある真理値割り当てがある節を真にし、本体のすべてのリテラルがその節を満たすならば、頭部もまた真でなければならない。

この同値性は論理プログラミングにおいてよく用いられ、そこでは節は通常この形の含意として書かれる。より一般には、頭部はリテラルの選言でありうる。$b_1,\dots ,b_m$ をある節の本体のリテラル、$h_1,\dots ,h_n$ をその頭部のリテラルとすると、その節は通常次のように書かれる。

$h_1,\dots ,h_n\leftarrow b_1,\dots ,b_m.$

• n = 1 かつ m = 0 のとき、その節は（Prologの）事実と呼ばれる。
• n = 1 かつ m > 0 のとき、その節は（Prologの）規則と呼ばれる。
• n = 0 かつ m > 0 のとき、その節は（Prologの）問い合わせと呼ばれる。
• n > 1 のとき、その節はもはやホーンではない。

関連項目

• 連言標準形
• 選言標準形
• ホーン節

外部リンク

• Clause logic related terminology