頂点推移グラフ
数学のグラフ理論の分野における頂点推移グラフ（ちょうてんすいいグラフ、テンプレート:Lang-en-short）とは、与えられた任意の二頂点 v1 および v2 に対して
であるようなテンプレート:仮リンク
が存在するグラフ G のことを言う。
言い換えれば、グラフが頂点推移的であるとは、その自己同型群が各頂点の上で可移的（transitively）に作用することを言う[1]。グラフが頂点推移的であるための必要十分条件は、その補グラフが頂点推移的であることである（なぜならば、それらの群作用は等しいため）。
孤立頂点を含まない対称グラフは、頂点推移的である。また、頂点推移グラフは正則である。しかし、すべての頂点推移グラフが対称であるとは限らない（例えば、切頂四面体の辺から成るグラフ）。また、すべての正則グラフが頂点推移的であるとは限らない（例えば、テンプレート:仮リンク）。
有限の例
対称グラフ（例えば、ピーターセングラフ、ヒーウッドグラフ、正多面体の頂点と辺から成るグラフなど）であれば、有限の頂点推移グラフである。有限のケイリーグラフ（例えば、テンプレート:仮リンクなど）もまた、頂点推移的である。なぜならば、それは半正多面体の頂点と辺から成るため（それらのうち対称であるものは二つしかないが）である。Potočnik、Spiga および Verret は、最大 1280 個の頂点を含む全ての連結立体頂点推移グラフの調査を行った[2]。
性質
頂点推移グラフのテンプレート:仮リンクは、その次数 d に等しい。一方、そのテンプレート:仮リンクは少なくとも 2(d+1)/3 である[3]。そのグラフの次数が 4 以下であるか、グラフが辺推移的であるか、あるいは最小のケイリーグラフであるなら、その頂点連結度も次数 d と等しくなる[4]。
無限の例
無限な頂点推移グラフは次を含む:
- 無限路（両方向に無限）
- 無限正則木。例えば、自由群のケイリーグラフ
- テンプレート:仮リンクを含む、テンプレート:仮リンクのグラフ（平面充填のテンプレート:仮リンクを参照されたい）
- 無限ケイリーグラフ
- テンプレート:仮リンク
二つの可算な頂点推移グラフが準等距離同型（quasi-isometric）であるとは、それらの距離函数の比が上下ともに有界であることを言う。有名な予想に、全ての無限な頂点推移グラフはケイリーグラフと準等距離同型である、というものがあったが、その反例はディエステルとテンプレート:仮リンクによって提唱され[5]、近年、エスキン、フィッシャーおよびホワイトによってその確証が得られた[6]。
関連項目
参考文献
外部リンク
- A census of small connected cubic vertex-transitive graphs . Primož Potočnik, Pablo Spiga, Gabriel Verret, 2012.