順序単位

数学において順序単位（じゅんじょたんい、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:仮リンクの各元を上から評価するために用いられる元である。したがって（後述の例で分かるように）順序単位は実数の単位元を一般化するものである。

定義

ベクトル空間 $X$ 内の順序錐 $K\subseteq X$ に対して、元 $e\in K$ が順序単位（より正確には、$K$-順序単位）であるとは、すべての $x\in X$ に対してある ${\lambda }_x>0$ が存在し ${\lambda }_{x}e-x\in K$ が成立することを言う（すなわち、$x{\le }_K{\lambda }_{x}e$ である）。

同値な定義

順序錐 $K\subseteq X$ の順序単位は、$K$ の代数的内部 $\mathrm{core}(K)$ の元である。

例

$X=ℝ$ を実数とし $K={ℝ}_{+}=\{x\in ℝ:x\ge 0\}$ とすると、単位元 $1$ は順序単位である。

$X={ℝ}^n$ とし $K={ℝ}_{+}^n=\{x\in ℝ:\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n:x_i\ge 0\}$ とすると、単位元 $\overrightarrow{1}=(1,\dots ,1)$ は順序単位である。