3囚人問題
3囚人問題（さんしゅうじんもんだい、テンプレート:Lang-en-short）は確率論の問題で、マーティン・ガードナーによって1959年に紹介された[1][2]。「テンプレート:仮リンク」を下敷きにしていると考えられている。
概要
ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうちランダムに選ばれた1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか?」と聞いても看守は答えない。したがって囚人Aが恩赦になる確率はこの時点では1/3であると考えられる。
囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「BとCのどちらが処刑されるかだけでも教えてくれないか?」すると看守は「Bは処刑される」と教えてくれた。
それを聞いた囚人Aはひそかに喜んだ。Bが死刑になる事は確定した以上、恩赦になるのはAかCのいずれか一方であるはずであり、したがってAが恩赦になる確率は1/2に上昇したからである。
果たして囚人Aが喜んだのは正しいか?
解法
結論を述べるためにまず記号を定義し、簡単な考察をする。「Aが恩赦になる」、「Bが恩赦になる」、「Cが恩赦になる」という事象を略記してそれぞれA、B、Cと書き、「看守が「Bは死刑になる」と答える」という事象をbとする。
看守はA自身が死刑になるか否かを答えないのであるから、恩赦になるのがBの場合、看守は必ず「Cは死刑になる」と答える。同様の理由により、恩赦になるのがCの場合、看守は必ず「Bは死刑になる」と答える。すなわち、
- …①
である。
しかし恩赦を受けるのがA自身であるケースでは、看守は「Bは死刑になる」という回答と「Cは死刑になる」という回答のいずれを答えるか任意に選ぶ事ができる。すなわち、
がいくつになるのかは3囚人問題のセッティングのみからは決まらず、看守の性格や思考等に依存して決まる。従って看守の答えを聞いて囚人Aが喜んだのが正しいか否かは、このがどのような値になるのかに依存して異なる[3]。
これをみるために「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率を求める。恩赦がランダムに決まるという仮定より
- …②
であるので、ベイズの定理より、
である[3]。具体的な値をいくつか代入してみると、
したがって最初に述べたように、「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率は、Aが恩赦されるケースで看守が「Bが死刑となる」と答える確率に依存して値が変わる。
もしAが確率に関して何ら情報を持たないなら、と仮定するのは自然である(最大エントロピー原理)[3]。この場合には、看守の返答後にAが恩赦になる確率 は 1/3のままである。すなわち「恩赦の確率が1/2にあがった」という囚人Aが喜んだのは間違っている事になる。
しかしAがに関する何らかの情報（例えば「看守はBを嫌っている」という情報）を持っている場合は、必ずしもとするのは自然ではない[3]。
仮にであれば、 となる為、囚人Aが喜んだのは正しい事になる。 一方であれば より、看守の返答を聞いたことによりAが恩赦になる確率は0に下がってしまう。
恩赦が等確率でない場合
上ではA、B、Cが恩赦を受ける確率はいずれも1/3である事を仮定し、なら囚人が喜んだのは間違っている事を見た。
しかし例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれA＝1/4、B＝1/4、C＝1/2に変えると、（であっても）看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう[4][5]。
心理学の題材として
直感的・主観的に捉えて予想した確率と本当の確率テンプレート:Efnが一致しないのはなぜか、さらに、解答を説明されても即座に理解できなかったり、理解したつもりでも納得できないのはなぜか、という研究が認知心理学の研究分野で行われた。
看守の返答を聞いた後Aが恩赦になる確率のアンケートを行ったある研究テンプレート:Efnでは、回答者の76％が1/2、14％が1/3と解答している[5]。しかし、確率は統計に基づくことを説明するヒントを載せたところ、この比率は逆転した[5]。