Centripetal Catmull-Romスプライン

コンピュータグラフィックスにおいて、centripetal Catmull–Romスプラインまたは求心性Catmull–Romスプライン（きゅうしんせいキャットマルロムスプライン）は、Edwin Catmullとテンプレート:日本語版にない記事リンクによって定式化されたCatmull–Romスプライン ^[1] の発展形であり、BarryとGoldmanが提案した再帰的アルゴリズムを用いて求めることができる ^[2]。このスプラインは補間スプライン（制御点を通過する曲線）の一種で、4つの制御点 $𝐏_{0}, 𝐏_{1}, 𝐏_{2}, 𝐏_{3}$ によって定義され、曲線は $𝐏_{1}$ から $𝐏_{2}$ の間のみ描画される。

定義

$𝐏_{i} = [x_{i} y_{i}]^{T}$ とする。点 $𝐏_{0}, 𝐏_{1}, 𝐏_{2}, 𝐏_{3}$ と、ノットシーケンス $t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}$ によって定義される曲線セグメント $𝐂$ について、centripetal Catmull–Romスプラインは以下の式で生成される：

𝐂 = \frac{t_{2} - t}{t_{2} - t_{1}} 𝐁_{1} + \frac{t - t_{1}}{t_{2} - t_{1}} 𝐁_{2}

ただし、

𝐁_{1} = \frac{t_{2} - t}{t_{2} - t_{0}} 𝐀_{1} + \frac{t - t_{0}}{t_{2} - t_{0}} 𝐀_{2}

𝐁_{2} = \frac{t_{3} - t}{t_{3} - t_{1}} 𝐀_{2} + \frac{t - t_{1}}{t_{3} - t_{1}} 𝐀_{3}

𝐀_{1} = \frac{t_{1} - t}{t_{1} - t_{0}} 𝐏_{0} + \frac{t - t_{0}}{t_{1} - t_{0}} 𝐏_{1}

𝐀_{2} = \frac{t_{2} - t}{t_{2} - t_{1}} 𝐏_{1} + \frac{t - t_{1}}{t_{2} - t_{1}} 𝐏_{2}

𝐀_{3} = \frac{t_{3} - t}{t_{3} - t_{2}} 𝐏_{2} + \frac{t - t_{2}}{t_{3} - t_{2}} 𝐏_{3}

また、

t_{i + 1} = {[\sqrt{(x_{i + 1} - x_{i})^{2} + (y_{i + 1} - y_{i})^{2}}]}^{α} + t_{i}

ここで、 $α$ は0から1の範囲のノットパラメータ、 $i = 0, 1, 2, 3$ 、 $t_{0} = 0$ である。 centripetal Catmull–Romスプラインでは、 $α$ は $0.5$ である。 $α = 0$ の場合に得られる曲線は、標準のuniform Catmull–Romスプラインであり、 $α = 1$ の場合に得られるのは、chordal Catmull–Romスプラインである。

スプラインの方程式 $𝐀_{1}, 𝐀_{2}, 𝐀_{3}, 𝐁_{1}, 𝐁_{2},$ と $𝐂$ に $t = t_{1}$ を代入すると、 $t_{1}$ におけるスプライン曲線の値は $𝐂 = 𝐏_{1}$ になる。同様に、スプラインの方程式に $t = t_{2}$ を代入すると、 $t_{2}$ において $𝐂 = 𝐏_{2}$ となる。これは $α$ の値に依存せず常に成り立つ。なぜなら、点 $t_{1}$ および $t_{2}$ における $𝐂$ の値の計算には $t_{i + 1}$ が必要ないためである。

この手法は、一般的な3Dポイント $𝐏_{i}$ を $𝐏_{i} = [x_{i} y_{i} z_{i}]^{T}$ とし、

t_{i + 1} = {[\sqrt{(x_{i + 1} - x_{i})^{2} + (y_{i + 1} - y_{i})^{2} + (z_{i + 1} - z_{i})^{2}}]}^{α} + t_{i}

とすることで、3次元空間にも容易に拡張できる。

特長

centripetal Catmull–Romスプラインには、元のCatmull–Romスプラインや他のバリエーションと比べて、いくつかの望ましい数学的特性がある ^[3]。第一に、曲線セグメント内でループや自己交差が発生しないこと、第二に、曲線セグメント内でカスプ（尖点）が発生しないこと、第三に、制御点に、より忠実に従うことである。 ^[4]

その他の用途

コンピュータビジョンでは、centripetal Catmull–Romスプラインは、セグメンテーション用アクティブスプラインモデルの基盤として使用されている。このモデルはテンプレート:日本語版にない記事リンクをベースとしており、連続する点どうしを直線ではなくcentripetal Catmull–Romスプラインで結ぶことで、必要な制御点の数を削減している。その結果、centripetal Catmull-Romスプラインの制御点を出力するよう訓練されたセグメンテーションモデルは、より迅速に収束し、生成される曲線は、線形ポリゴンや他の3次スプラインよりも編集が容易になる。 ^[5]

Pythonコード例

以下は、下に示されたプロットを生成する、Catmull–RomスプラインのPythonでの実装である。

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt


QUADRUPLE_SIZE: int = 4


def num_segments(point_chain: tuple) -> int:
    # There is 1 segment per 4 points, so we must subtract 3 from the number of points  
    return len(point_chain) - (QUADRUPLE_SIZE - 1)


def flatten(list_of_lists) -> list:
    # E.g. mapping [[1, 2], [3], [4, 5]] to  [1, 2, 3, 4, 5] 
    return [elem for lst in list_of_lists for elem in lst]


def catmull_rom_spline(
    P0: tuple,
    P1: tuple,
    P2: tuple,
    P3: tuple,
    num_points: int,
    alpha: float = 0.5,
):
    """
    Compute the points in the spline segment
    :param P0, P1, P2, and P3: The (x,y) point pairs that define the Catmull-Rom spline
    :param num_points: The number of points to include in the resulting curve segment
    :param alpha: 0.5 for the centripetal spline, 0.0 for the uniform spline, 1.0 for the chordal spline.
    :return: The points
    """

    # Calculate t0 to t4. Then only calculate points between P1 and P2.
    # Reshape linspace so that we can multiply by the points P0 to P3
    # and get a point for each value of t.
    def tj(ti: float, pi: tuple, pj: tuple) -> float:
        xi, yi = pi
        xj, yj = pj
        dx, dy = xj - xi, yj - yi
        l = (dx ** 2 + dy ** 2) ** 0.5
        return ti + l ** alpha

    t0: float = 0.0
    t1: float = tj(t0, P0, P1)
    t2: float = tj(t1, P1, P2)
    t3: float = tj(t2, P2, P3)
    t = numpy.linspace(t1, t2, num_points).reshape(num_points, 1)

    A1 = (t1 - t) / (t1 - t0) * P0 + (t - t0) / (t1 - t0) * P1
    A2 = (t2 - t) / (t2 - t1) * P1 + (t - t1) / (t2 - t1) * P2
    A3 = (t3 - t) / (t3 - t2) * P2 + (t - t2) / (t3 - t2) * P3
    B1 = (t2 - t) / (t2 - t0) * A1 + (t - t0) / (t2 - t0) * A2
    B2 = (t3 - t) / (t3 - t1) * A2 + (t - t1) / (t3 - t1) * A3
    points = (t2 - t) / (t2 - t1) * B1 + (t - t1) / (t2 - t1) * B2
    return points


def catmull_rom_chain(points: tuple, num_points: int) -> list:
    """
    Calculate Catmull-Rom for a sequence of initial points and return the combined curve.
    :param points: Base points from which the quadruples for the algorithm are taken
    :param num_points: The number of points to include in each curve segment
    :return: The chain of all points (points of all segments)
    """
    point_quadruples = (  # Prepare function inputs
        (points[idx_segment_start + d] for d in range(QUADRUPLE_SIZE))
        for idx_segment_start in range(num_segments(points))
    )
    all_splines = (catmull_rom_spline(*pq, num_points) for pq in point_quadruples)
    return flatten(all_splines)


if __name__ == "__main__":
    POINTS: tuple = ((0, 1.5), (2, 2), (3, 1), (4, 0.5), (5, 1), (6, 2), (7, 3))  # Red points
    NUM_POINTS: int = 100  # Density of blue chain points between two red points

    chain_points: list = catmull_rom_chain(POINTS, NUM_POINTS)
    assert len(chain_points) == num_segments(POINTS) * NUM_POINTS  # 400 blue points for this example

    plt.plot(*zip(*chain_points), c="blue")
    plt.plot(*zip(*POINTS), c="red", linestyle="none", marker="o")
    plt.show()

テンプレート:Clear

Unity C# コード例

Unityゲームエンジン用のC# コード例。

using UnityEngine;

// a single Catmull–Rom curve
public struct CatmullRomCurve
{
	public Vector2 p0, p1, p2, p3;
	public float alpha;

	public CatmullRomCurve(Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3, float alpha)
    {
		(this.p0, this.p1, this.p2, this.p3) = (p0, p1, p2, p3);
		this.alpha = alpha;
	}

	// Evaluates a point at the given t-value from 0 to 1
	public Vector2 GetPoint(float t)
    {
		// calculate knots
		const float k0 = 0;
		float k1 = GetKnotInterval(p0, p1);
		float k2 = GetKnotInterval(p1, p2) + k1;
		float k3 = GetKnotInterval(p2, p3) + k2;

		// evaluate the point
		float u = Mathf.LerpUnclamped(k1, k2, t);
		Vector2 A1 = Remap(k0, k1, p0, p1, u);
		Vector2 A2 = Remap(k1, k2, p1, p2, u);
		Vector2 A3 = Remap(k2, k3, p2, p3, u);
		Vector2 B1 = Remap(k0, k2, A1, A2, u);
		Vector2 B2 = Remap(k1, k3, A2, A3, u);
		return Remap(k1, k2, B1, B2, u);
	}

	static Vector2 Remap(float a, float b, Vector2 c, Vector2 d, float u)
    {
		return Vector2.LerpUnclamped(c, d, (u - a) / (b - a));
	}

	float GetKnotInterval(Vector2 a, Vector2 b)
    {
		return Mathf.Pow(Vector2.SqrMagnitude(a - b), 0.5f * alpha);
	}
}

using UnityEngine;

// Draws a Catmull–Rom spline in the scene view,
// along the child objects of the transform of this component
public class CatmullRomSpline : MonoBehaviour
{
	[Range(0, 1)]
    public float alpha = 0.5f;
	int PointCount => transform.childCount;
	int SegmentCount => PointCount - 3;
	Vector2 GetPoint(int i) => transform.GetChild(i).position;

	CatmullRomCurve GetCurve(int i)
    {
		return new CatmullRomCurve(GetPoint(i), GetPoint(i+1), GetPoint(i+2), GetPoint(i+3), alpha);
	}

	void OnDrawGizmos()
    {
		for (int i = 0; i < SegmentCount; i++)
			DrawCurveSegment(GetCurve(i));
	}

	void DrawCurveSegment(CatmullRomCurve curve)
    {
		const int detail = 32;
		Vector2 prev = curve.p1;

		for (int i = 1; i < detail; i++)
        {
			float t = i / (detail - 1f);
			Vector2 pt = curve.GetPoint(t);
			Gizmos.DrawLine(prev, pt);
			prev = pt;
		}
	}
}

Unreal C++ コード例

float GetT( float t, float alpha, const FVector& p0, const FVector& p1 )
{
    auto d  = p1 - p0;
    float a = d | d; // Dot product
    float b = FMath::Pow( a, alpha*.5f );
    return (b + t);
}

FVector CatmullRom( const FVector& p0, const FVector& p1, const FVector& p2, const FVector& p3, float t /* between 0 and 1 */, float alpha=.5f /* between 0 and 1 */ )
{
    float t0 = 0.0f;
    float t1 = GetT( t0, alpha, p0, p1 );
    float t2 = GetT( t1, alpha, p1, p2 );
    float t3 = GetT( t2, alpha, p2, p3 );
    t = FMath::Lerp( t1, t2, t );
    FVector A1 = ( t1-t )/( t1-t0 )*p0 + ( t-t0 )/( t1-t0 )*p1;
    FVector A2 = ( t2-t )/( t2-t1 )*p1 + ( t-t1 )/( t2-t1 )*p2;
    FVector A3 = ( t3-t )/( t3-t2 )*p2 + ( t-t2 )/( t3-t2 )*p3;
    FVector B1 = ( t2-t )/( t2-t0 )*A1 + ( t-t0 )/( t2-t0 )*A2;
    FVector B2 = ( t3-t )/( t3-t1 )*A2 + ( t-t1 )/( t3-t1 )*A3;
    FVector C  = ( t2-t )/( t2-t1 )*B1 + ( t-t1 )/( t2-t1 )*B2;
    return C;
}

脚注

テンプレート:Reflist

外部リンク

Catmull-Rom curve with no cusps and no self-intersections テンプレート:Snd implementation in Java
Catmull-Rom curve with no cusps and no self-intersections テンプレート:Snd simplified implementation in C++
Catmull-Rom splines テンプレート:Snd interactive generation via Python, in a Jupyter notebook
Smooth Paths Using Catmull-Rom Splines テンプレート:Snd another versatile implementation in C++ including centripetal CR splines

[1] テンプレート:Cite book

[2] テンプレート:Cite conference

[Yuksel-3] テンプレート:Cite journal

[4] テンプレート:Cite web

[5] テンプレート:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Centripetal Catmull-Romスプライン

目次

定義

特長

その他の用途

Pythonコード例

Unity C# コード例

Unreal C++ コード例

関連項目

脚注

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