はめ込み

数学において，はめ込み (immersion) は可微分多様体の間の可微分写像であって微分がいたるところ単射であるもののことである^[1]．明示的には，テンプレート:Math がはめ込みであるとは，

D_{p} f : T_{p} M \to T_{f (p)} N

がテンプレート:Mvar のすべての点テンプレート:Mvar において単射関数であることをいう（ここでテンプレート:Mvar は多様体テンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar における接空間を表す）．同じことであるが，テンプレート:Mvar がはめ込みであるとは，その微分がテンプレート:Mvar の次元に等しい定数テンプレート:仮リンクを持つことである^[2]：

rank D_{p} f = \dim M .

関数テンプレート:Mvar それ自身は単射である必要はない．

関連概念は埋め込みである．滑らかな埋め込みは位相的な埋め込みでもある単射はめ込みテンプレート:Math であり，したがってテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar におけるその像に微分同相である．はめ込みはちょうど局所的な埋め込みである――つまり，任意の点テンプレート:Math に対して，テンプレート:Mvar のある近傍テンプレート:Math が存在して，テンプレート:Math が埋め込みとなり，逆に局所的な埋め込みははめ込みである^[3]．無限次元多様体に対して，これははめ込みの定義として取られることもある^[4]．

テンプレート:Mvar がコンパクトならば，単射なはめ込みは埋め込みであるが，テンプレート:Mvar がコンパクトでなければ，そうとは限らない；連続全単射と同相を比較せよ．

正則ホモトピー

多様体テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への2つのはめ込みテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の間のテンプレート:仮リンクは次のような可微分関数テンプレート:Math と定義される：すべてのテンプレート:Math に対して，すべてのテンプレート:Math に対してテンプレート:Math によって定義される関数テンプレート:Math ははめ込みで，テンプレート:Math, テンプレート:Math である．正則ホモトピーはしたがってはめ込みを通したホモトピーである．

分類

ハスラー・ホイットニーは1940年代にはめ込みと正則ホモトピーの系統的な研究を創始し，テンプレート:Math に対してテンプレート:Mvar 次元多様体からテンプレート:Mvar 次元多様体へのすべての写像テンプレート:Math がはめ込みにホモトープであること，そしてテンプレート:Math に対しては実は埋め込みにホモトープであることを証明した．これらがテンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクである．

スティーブン・スメールははめ込みテンプレート:Math の正則ホモトピー類をあるテンプレート:仮リンクのホモトピー群として表した．テンプレート:仮リンクは特に著しい結果であった．

テンプレート:仮リンクは Smale の表示を任意のテンプレート:Mvar 次元多様体テンプレート:Mvar 内の任意のテンプレート:Mvar 次元多様体テンプレート:Mvar のはめ込みの正則ホモトピー類のホモトピー論による記述に一般化した．

はめ込みの Hirsch–Smale 分類はMichael Gromovによって一般化された．

存在

余次元 0

多重点

例と性質

クラインの壺や，すべての他の向き付け不可能な閉曲面は，3次元空間にはめ込むことができるが，埋め込むことはできない．

テンプレート:Mvar 弁のバラは円周の平面へのただ1つのテンプレート:Mvar 重点を持ったはめ込みである．テンプレート:Mvar は任意の奇数でよいが，偶数なら4の倍数で，8の字はバラでない．
テンプレート:仮リンクにより，円周の平面へのはめ込みの正則ホモトピー類は回転数によって分類され，この数は代数的に（すなわち符号付きで）数えた二重点の個数でもある．
テンプレート:仮リンク：標準的な埋め込みテンプレート:Math ははめ込みの正則ホモトピーテンプレート:Math によってテンプレート:Math と結ばれる．
ボーイ曲面は実射影平面の3次元空間へのはめ込みである；したがって球面の2対1のはめ込みでもある．
テンプレート:仮リンクは球面のはめ込みである；これとボーイ曲面はともに sphere eversion の途中のモデルとして生じる．

はめ込まれた平面曲線

テンプレート:Main はめ込まれた平面曲線は well-defined な Turning number をもち，テンプレート:仮リンクをテンプレート:Math で割ったものとして定義できる．これはテンプレート:仮リンクにより正則ホモトピーで不変である――位相幾何学的には，それはガウス写像の次数，あるいは同じことであるが，原点についての（消えない）unit tangent の回転数である．さらに，これはテンプレート:仮リンクである――同じ回転数を持つ任意の2つの平面曲線は正則ホモトピックである．

すべてのはめ込まれた平面曲線は交差する点を分離して埋め込まれた空間曲線に持ちあがるが，これは高次元では正しくない．追加の情報（どの紐が上にあるか）により，はめ込まれた平面曲線はテンプレート:仮リンクを生じ，これは結び目理論において中心的に興味を持たれる．はめ込まれた平面曲線は正則ホモトピーの違いを除いて回転数によって決定されるが，結び目は非常に豊かで複雑な構造を持つ．

3次元空間にはめ込まれた曲面

一般化

テンプレート:Main はめこみ理論の遠大な一般化はテンプレート:仮リンクである：はめこみの条件（微分の階数がつねにテンプレート:Mvar）は，関数の偏微分のことばで述べられるから，テンプレート:仮リンク (partial differential relation, PDR) と考えることができる．すると Smale–Hirsch のはめ込み理論はこれがホモトピー論に帰着されるという結果であり，ホモトピー原理は PDR がホモトピー論に帰着する一般の条件や理由を与える．

脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Refbegin

テンプレート:Refend

外部リンク

Immersion at the Manifold Atlas
Immersion of a manifold at the Encyclopedia of Mathematics

↑ This definition is given by テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb.
↑ This definition is given by テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb.
↑ 局所微分同相に基づいたこの種の定義はテンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb によって与えられている．
↑ この種の無限次元の定義はテンプレート:Harvnb によって与えられている．

[1] This definition is given by テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb.

[2] This definition is given by テンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb.

[3] 局所微分同相に基づいたこの種の定義はテンプレート:Harvnb, テンプレート:Harvnb によって与えられている．

[4] この種の無限次元の定義はテンプレート:Harvnb によって与えられている．

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はめ込み

目次

正則ホモトピー

分類