アンサンブルカルマンフィルタ

アンサンブルカルマンフィルタ（Ensemble Kalman Filter；EnKF）とは、逐次型データ同化手法の一つである。シミュレーションモデル内の状態を表す確率変数について、その分布を実現値集合（アンサンブルと称す）によって保持し、観測を得るごとに、観測モデルをもとにしたカルマンフィルターによる推定により、2次モーメントまでが一致するよう、アンサンブルを修正することを繰り返す方法である。

概略

まず、時刻kにおけるシミュレーションモデル（状態方程式）は以下である。

${𝒙}_k={𝒇}_k({𝒙}_{k-1},{𝒗}_k)$

ここで、${𝒙}_k$は状態ベクトル、${𝒗}_k$はシステムノイズである。

また、観測モデル（観測方程式）は、以下である。

${𝒚}_k={𝒉}_k({𝒙}_k,{𝒘}_k)$

ここで、${𝒚}_k$は観測ベクトル、${𝒘}_k$は観測ノイズである。

本項目では、以下の線形の観測モデルを考える。

${𝒚}_k={𝑯}_k{𝒙}_k+{𝒘}_k$

ここでN個のアンサンブル$\{{𝒙}_{k-1\mid k-1}{\}}_{i=1}^N$を考えたとき、条件付き分布pを以下のように$\delta$関数を用いて近似する。

$p({𝒙}_k\mid {𝒚}_{1:k-1})\cong \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\delta ({𝒙}_k-{𝒙}_{k\mid k-1}^{(i)})$

$p({𝒙}_k\mid {𝒚}_{1:k})\cong \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\delta ({𝒙}_k-{𝒙}_{k\mid k}^{(i)})$

アンサンブルカルマンフィルタの解析は、予測（prediction）、濾波（filtering）および平滑化（smoothing）の三つの推定問題に分類することができる。以下に三つの問題を示す。

予測

アンサンブルメンバー${𝒙}_{k-1\mid k-1}^{(i)}$をシミュレーションモデルに基づいて更新し、予測分布のアンサンブルを得る。すなわち、以下の式が得られる。

${𝒙}_{k\mid k-1}^{(i)}={𝒇}_k({𝒙}_{k-1\mid k-1}^{(i)},{𝒗}_k^{(i)})$

濾波

${{𝒙}^{\prime }}_{k\mid k-1}^{(i)}={𝒙}_{k\mid k-1}^{(i)}-\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{𝒙}_{k\mid k-1}^{(j)}$

${\widehat{𝑽}}_{k\mid k-1}=\frac{1}{N-1}\sum _{j=1}^N{{{𝒙}^{\prime }}_{k\mid k-1}^{(j)}{{𝒙}^{\prime }}_{k\mid k-1}^{(j)}}^T$

${\widehat{𝑹}}_k=\frac{1}{N-1}\sum _{j=1}^N{{𝒘}_k^{(j)}{𝒘}_k^{(j)}}^T$

次に、以下のカルマンゲインより、アンサンブルメンバーを得る。

${\widehat{𝑲}}_k={\widehat{𝑽}}_{k\mid k-1}{𝑯}_k^T({𝑯}_k{\widehat{𝑽}}_{k\mid k-1}{𝑯}_k^T+{\widehat{𝑹}}_k{)}^{-1}$

${𝒙}_{k\mid k}^{(i)}={𝒙}_{k\mid k-1}^{(i)}+{\widehat{𝑲}}_k({𝒚}_k+{𝒘}_k^{(i)}-{𝑯}_k{𝒙}_{k\mid k-1}^{(i)})$

平滑化

以下のアンサンブルメンバーを得る。ここで、${\widehat{𝑱}}_{k^{\prime }\mid k}$はカルマンゲインに相当する。

${\widehat{𝑱}}_{k^{\prime }\mid k}=\frac{1}{N-1}(\sum _{i=1}^N({𝒙}_{k^{\prime }\mid k-1}^{(i)}-{\widehat{𝒙}}_{k^{\prime }\mid k-1})({𝒙}_{k^{\prime }\mid k-1}^{(i)}-{\widehat{𝒙}}_{k^{\prime }\mid k-1}{)}^T){𝑯}_k^T({𝑯}_k{\widehat{𝑽}}_{k\mid k-1}{𝑯}_k^T+{\widehat{𝑹}}_k{)}^{-1}$

${𝒙}_{k^{\prime }\mid k}^{(i)}={𝒙}_{k^{\prime }\mid k-1}^{(i)}+{\widehat{𝑱}}_{k^{\prime }\mid k}({𝒚}_k+{𝒘}_k^{(i)}-{𝑯}_k{𝒙}_{k\mid k-1}^{(i)})$

参考文献

• 中村和幸、上野玄太、樋口知之；データ同化：その概念と計算アルゴリズム、統計数理、第53巻、第2号、pp.211-229、2005.
• 三好建正；アンサンブル・カルマンフィルタ‐データ同化とアンサンブル予報の接点‐、天気、Vol.52、No.2、pp.93-104、2005.
• Evansen, G.: The ensemble Kalman filter : theoretical formulation and practical implementation, Ocean Dynamics, 53, pp.343-367, 2003.
• Hamill, T.M.: Ensemble-based atmospheric data assimilation, A tutorial, NOAA-CIRES Climate Diagnostics Center, pp.1-46, 2003.