オルンシュタイン＝ウーレンベック過程

テンプレート:Expand English オルンシュタイン＝ウーレンベック過程（オルンシュタイン＝ウーレンベックかてい、テンプレート:Lang-en-short）は、レナード・オルンシュタインとジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程（へいきんかいきかてい）とも呼ばれる。

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、以下のような確率微分方程式で与えられる確率過程{r_t}である。

ここで、θ, μ, σ はパラメータであり、W_t はウィーナー過程を表す。

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、離散時間AR(1)過程の連続時間バージョンであると言える。

3つの異なるオルンシュタイン＝ウーレンベック過程の標本路。
θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
テンプレート:Color: 初期値 r₀ = 0 (a.s.)
テンプレート:Color: 初期値 r₀ = 2 (a.s.)
テンプレート:Color: 初期値が正規分布に従うと仮定（過程は不変測度を持つことになる）

解

この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数$f(r_t,t)=r_t{e}^{\theta t}$に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。

$\begin{array}{cc}df(r_t,t)& =\theta r_t{e}^{\theta t}dt+e^{\theta t}d{r}_t\\ & =e^{\theta t}\theta \mu dt+\sigma e^{\theta t}d{W}_t\end{array}$

これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。

$r_t{e}^{\theta t}=r_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\theta s}\theta \mu ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma e^{\theta s}d{W}_s$

これを変形し、以下のように解が求められる。

$r_t=r_0{e}^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma e^{\theta (s-t)}d{W}_s$

$r_0$が定数であると仮定するとき、$r_t$の1次モーメントは以下のように計算できる。

$E(r_t)=r_0{e}^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})$

$s\wedge t=\min (s,t)$とおくと、伊藤積分の等長性 を用いて次のような共分散関数が得られる。

$\begin{array}{cc}\mathrm{cov}(r_s,r_t)& =\mathrm{E}[(r_s-\mathrm{E}[r_s])(r_t-\mathrm{E}[r_t])]\\ & =\mathrm{E}\left[\underset{0}{\overset{s}{\int }}\sigma e^{\theta (u-s)}d{W}_u\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma e^{\theta (v-t)}d{W}_v\right]\\ & ={\sigma }^2{e}^{-\theta (s+t)}\mathrm{E}\left[\underset{0}{\overset{s}{\int }}{e}^{\theta u}d{W}_u\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\theta v}d{W}_v\right]\\ & =\frac{{\sigma }^2}{2\theta }{e}^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s\wedge t)}-1)\end{array}$

別表現1

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、スケールを変え時間シフトをしたウィーナー過程としても表現することが可能である（そして、しばしばその方が便利である）。初期値条件の無い場合、

$r_t=\mu +\frac{\sigma }{\sqrt{2\theta }}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}$

となり、また$r_0$が与えられた場合は以下のようになる。

$r_t=r_0{e}^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\frac{\sigma }{\sqrt{2\theta }}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}$

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の例であり、ウィーナー過程とは対照的に定常確率分布を許している。

この過程の時間積分は、1/fパワースペクトルを持つノイズを生成するために用いることができる。

別表現2

B をブラウン運動とすると、

$U_t=\exp (\beta t)B\left(\frac{1-e^{-2\beta t}}{2\beta }\right)$

はオルンシュタイン＝ウーレンベック過程である。U_tは以下の微分方程式の解である。

$d{U}_t=\beta U_{t}dt+d{B}_t$

参考文献

• G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, "On the theory of Brownian Motion", Phys. Rev. 36:823-41, 1930.
• D. T. Gillespie, "Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral", Phys. Rev. E 54:2084-91, 1996.

関連項目

• 利子率に関するバシチェック・モデルは、オルンシュタイン＝ウーレンベック過程の例である。

一般化

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、背後過程を（ウィーナー過程より一般的な）レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ＝ニールセンらによって研究されている。 正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式（generalised　Black-Scholes方程式＜ブラック・ショールズのレヴィ過程版＞とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの）の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。