キャブタクシー数

n 番目のキャブタクシー数（キャブタクシーすう、テンプレート:Lang、Cabtaxi(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。ここでの立方数は全ての整数（正の整数、0、負の整数）を取りうる。立方数が正の整数のみに限定されればタクシー数になる。全ての n に対してキャブタクシー数が存在する（タクシー数は全ての n に対して存在することが証明されているため）。現在は10個のキャブタクシー数が知られている（テンプレート:OEISを参照）。

既知のキャブタクシー数

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(1)& =& 1& =& 1^3\pm 0^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(2)& =& 91& =& 3^3+4^3\\ & & & =& 6^3-5^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(3)& =& 728& =& 6^3+8^3\\ & & & =& 9^3-1^3\\ & & & =& 12^3-10^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(4)& =& 2741256& =& 108^3+114^3\\ & & & =& 140^3-14^3\\ & & & =& 168^3-126^3\\ & & & =& 207^3-183^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(5)& =& 6017193& =& 166^3+113^3\\ & & & =& 180^3+57^3\\ & & & =& 185^3-68^3\\ & & & =& 209^3-146^3\\ & & & =& 246^3-207^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(6)& =& 1412774811& =& 963^3+804^3\\ & & & =& 1134^3-357^3\\ & & & =& 1155^3-504^3\\ & & & =& 1246^3-805^3\\ & & & =& 2115^3-2004^3\\ & & & =& 4746^3-4725^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(7)& =& 11302198488& =& 1926^3+1608^3\\ & & & =& 1939^3+1589^3\\ & & & =& 2268^3-714^3\\ & & & =& 2310^3-1008^3\\ & & & =& 2492^3-1610^3\\ & & & =& 4230^3-4008^3\\ & & & =& 9492^3-9450^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(8)& =& 137513849003496& =& 22944^3+50058^3\\ & & & =& 36547^3+44597^3\\ & & & =& 36984^3+44298^3\\ & & & =& 52164^3-16422^3\\ & & & =& 53130^3-23184^3\\ & & & =& 57316^3-37030^3\\ & & & =& 97290^3-92184^3\\ & & & =& 218316^3-217350^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(9)& =& 424910390480793000& =& 645210^3+538680^3\\ & & & =& 649565^3+532315^3\\ & & & =& 752409^3-101409^3\\ & & & =& 759780^3-239190^3\\ & & & =& 773850^3-337680^3\\ & & & =& 834820^3-539350^3\\ & & & =& 1417050^3-1342680^3\\ & & & =& 3179820^3-3165750^3\\ & & & =& 5960010^3-5956020^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}(10)& =& 933528127886302221000& =& 77480130^3-77428260^3\\ & & & =& 41337660^3-41154750^3\\ & & & =& 18421650^3-17454840^3\\ & & & =& 10852660^3-7011550^3\\ & & & =& 10060050^3-4389840^3\\ & & & =& 9877140^3-3109470^3\\ & & & =& 9781317^3-1318317^3\\ & & & =& 9773330^3-84560^3\\ & & & =& 8444345^3+6920095^3\\ & & & =& 8387730^3+7002840^3\end{array}$

Cabtaxi(5)，Cabtaxi(6)，及びCabtaxi(7)はランドル・L・ラスバンによって、Cabtaxi(8)はダニエル・バーンスタインによって発見された。またバーンスタインの発見方法を利用して、Cabtaxi(9)がダンカン・ムーアによって発見された。

Cabtaxi(10)は当初、2006年にクリスチャン・ボイヤーによってCabtaxi(10)が取りうる値の上限として示され、ウーヴェ・ホラーバッハによってこれが実際にCabtaxi(10)であることが証明された。このことは2008年5月16日にメーリングリストNMBRTHRYにて報告された。

2008年4月現在、Cabtaxi(11)からCabtaxi(42)までの上限が示されている。

関連項目

• タクシー数
• 一般化タクシー数

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi numbers
• Cabtaxi at Euler