コンウェイの記法 (幾何学)

幾何学において、コンウェイの記法（コンウェイのきほう、英:Conway notation, Conway triangle notation）はジョン・ホートン・コンウェイにちなんで名付けられた、代数的な三角関数の表記法である。 三角形の辺の長さをそれぞれ a, b, c 、それに対応する角をそれぞれA, B, C とする。コンウェイの記法は以下のような式を簡潔にまとめることに用いられる。

以降は下の式で、

$\sum _{\text{cyclic}}f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$

のように、後ろ2つの文字に関する対称式テンプレート:Mvarの和を指すとする。

記法

$S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C$

ここでSは三角形の2倍の面積である。

$S_{\phi }=S\cot \phi .$

は特定の面積を表すのに用いられる。例えば

$S_A=S\cot A=bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

$S_B=S\cot B=ac\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$

$S_C=S\cot C=ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$

$S_{\omega }=S\cot \omega =\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

ここで、 $\omega$はブロカール角である。

$S_{\frac{\pi }{3}}=S\cot \frac{\pi }{3}=S\frac{\sqrt{3}}{3}$

倍角・半角の公式

$S_{2\phi }=\frac{S_{\phi }^2-S^2}{2S_{\phi }}{S}_{\frac{\phi }{2}}=S_{\phi }+\sqrt{S_{\phi }^2+S^2}$

ただし $0<\phi <\pi$

加法定理

$S_{\vartheta +\phi }=\frac{S_{\vartheta }{S}_{\phi }-S^2}{S_{\vartheta }+S_{\phi }}{S}_{\vartheta -\phi }=\frac{S_{\vartheta }{S}_{\phi }+S^2}{S_{\phi }-S_{\vartheta }}.$

$S_{\vartheta }{S}_{\phi }=S_{\vartheta \phi }$、$S_{\vartheta }{S}_{\phi }{S}_{\psi }=S_{\vartheta \phi \psi }$と書くと以下の等式が成り立つ。

$\sin A=\frac{S}{bc}=\frac{S}{\sqrt{S_A^2+S^2}}\cos A=\frac{S_A}{bc}=\frac{S_A}{\sqrt{S_A^2+S^2}}\tan A=\frac{S}{S_A}$

$a^2=S_B+S_C{b}^2=S_A+S_C{c}^2=S_A+S_B.$

$\sum _{\text{cyclic}}{S}_A=S_{\omega }$

$S_{BC}=S_B{S}_C=S^2-a^2{S}_A{S}_{AC}=S_A{S}_C=S^2-b^2{S}_B{S}_{AB}=S_A{S}_B=S^2-c^2{S}_C$

$\sum _{\text{cyclic}}{a}^4=2(S_{\omega }^2-S^2)\sum _{\text{cyclic}}{S}_A^2=S_{\omega }^2-2S^2\sum _{\text{cyclic}}{b}^2{c}^2=S_{\omega }^2+S^2.$

コンウェイの恒等式

下の二式はコンウェイの恒等式と呼ばれる。

$S^2=b^2{c}^2-S_A^2=a^2{c}^2-S_B^2=a^2{b}^2-S_C^2$

$S^2=S_{AB}+S_{BC}+S_{CA}=S_{BC}+a^2{S}_A=\frac{1}{2}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A=\frac{1}{2}(a^2{S}_A+b^2{S}_B+c^2{S}_C)$

その他

R を外接円の半径とするとabc=2SRが成り立つ。また、r を内接円の半径、sを半周長とすると、 $s=\frac{a+b+c}{2},a+b+c=\frac{S}{r}$ が成り立つ。

$S_{ABC}=S_A{S}_B{S}_C=S^2(S_{\omega }-4R^2)S_{\omega }=s^2-r^2-4rR$$\sin A\sin B\sin C=\frac{S}{4R^2}\cos A\cos B\cos C=\frac{S_{\omega }-4R^2}{4R^2}$

$\sum _{\text{cyclic}}\sin A=\frac{S}{2Rr}=\frac{s}{R}\sum _{\text{cyclic}}\cos A=\frac{r+R}{R}\sum _{\text{cyclic}}\tan A=\frac{S}{S_{\omega }-4R^2}=\tan A\tan B\tan C.$

応用

コンウェイの記法の用例を見てみよう。

二点テンプレート:Mvarの三線座標をそれぞれテンプレート:Math とし、また、テンプレート:Mathなどと書く。 二点の距離テンプレート:Mvarについて、以下の式が成り立つ。

$D^2=\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A{(\frac{p_a}{K_p}-\frac{q_a}{K_q})}^2.$

テンプレート:Mvarを垂心、テンプレート:Mvarを外心として、外心と垂心の距離を求める。 テンプレート:Mathが成り立つので、

$K_p=\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A=2S^2{K}_q=\sum _{\text{cyclic}}{S}_B{S}_C=S^2.$

$\begin{array}{cc}{D}^2& =\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A{(\frac{a{S}_A}{2S^2}-\frac{S_B{S}_C}{a{S}^2})}^2\\ & =\frac{1}{4S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^4{S}_A^3-\frac{S_A{S}_B{S}_C}{S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A+\frac{S_A{S}_B{S}_C}{S^4}\sum _{\text{cyclic}}{S}_B{S}_C\\ & =\frac{1}{4S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A^2(S^2-S_B{S}_C)-2(S_{\omega }-4R^2)+(S_{\omega }-4R^2)\\ & =\frac{1}{4S^2}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A^2-\frac{S_A{S}_B{S}_C}{S^4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2{S}_A-(S_{\omega }-4R^2)\\ & =\frac{1}{4S^2}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2(b^2{c}^2-S^2)-\frac{1}{2}(S_{\omega }-4R^2)-(S_{\omega }-4R^2)\\ & =\frac{3a^2{b}^2{c}^2}{4S^2}-\frac{1}{4}\sum _{\text{cyclic}}{a}^2-\frac{3}{2}(S_{\omega }-4R^2)\\ & =3R^2-\frac{1}{2}{S}_{\omega }-\frac{3}{2}{S}_{\omega }+6R^2\\ & =9R^2-2S_{\omega }.\end{array}$

このようにして、外心と垂心の距離を求めることができた。

$OH=\sqrt{9R^2-2S_{\omega }}.$