五十七角形

五十七角形（ごじゅうしちかくけい、ごじゅうしちかっけい、pentacontaheptagon）は、多角形の一つで、57本の辺と57個の頂点を持つ図形である。内角の和は9900°、対角線の本数は1539本である。

正五十七角形

正五十七角形においては、中心角と外角は6.315…°で、内角は173.684…°となる。一辺の長さが a の正五十七角形の面積 S は

S = \frac{57}{4} a^{2} \cot \frac{π}{57} ≃ 258.28535 a^{2}

以下のように定義すると

\begin{matrix} x_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{57} + 2 \cos \frac{14 π}{57} + 2 \cos \frac{16 π}{57} \\ x_{2} = 2 \cos \frac{10 π}{57} + 2 \cos \frac{44 π}{57} + 2 \cos \frac{34 π}{57} \\ x_{3} = 2 \cos \frac{50 π}{57} + 2 \cos \frac{8 π}{57} + 2 \cos \frac{56 π}{57} \\ x_{4} = 2 \cos \frac{22 π}{57} + 2 \cos \frac{40 π}{57} + 2 \cos \frac{52 π}{57} \\ x_{5} = 2 \cos \frac{4 π}{57} + 2 \cos \frac{28 π}{57} + 2 \cos \frac{32 π}{57} \\ x_{6} = 2 \cos \frac{20 π}{57} + 2 \cos \frac{26 π}{57} + 2 \cos \frac{46 π}{57} \end{matrix}

以下の関係がある。

\begin{matrix} x_{1} + x_{3} + x_{5} = \frac{1 + \sqrt{57}}{2} = α \\ x_{2} + x_{4} + x_{6} = \frac{1 - \sqrt{57}}{2} = β \end{matrix}

さらに、以下のような関係式が得られる。

\begin{matrix} {(x_{1} + ω \cdot x_{3} + ω^{2} \cdot x_{5})}^{3} = & \frac{- 11 + 3 \sqrt{57}}{2} + 3 ω (\frac{- 29 - 3 \sqrt{57}}{2}) + 3 ω^{2} (\frac{47 + 7 \sqrt{57}}{2}) \\ = & \frac{- 38 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{3} (38 + 5 \sqrt{57}) i}{2} \\ {(x_{1} + ω^{2} \cdot x_{3} + ω \cdot x_{5})}^{3} = & \frac{- 11 + 3 \sqrt{57}}{2} + 3 ω^{2} (\frac{- 29 - 3 \sqrt{57}}{2}) + 3 ω (\frac{47 + 7 \sqrt{57}}{2}) \\ = & \frac{- 38 - 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{3} (38 + 5 \sqrt{57}) i}{2} \\ {(x_{2} + ω \cdot x_{4} + ω^{2} \cdot x_{6})}^{3} = & \frac{- 11 - 3 \sqrt{57}}{2} + 3 ω (\frac{- 29 + 3 \sqrt{57}}{2}) + 3 ω^{2} (\frac{47 - 7 \sqrt{57}}{2}) \\ = & \frac{- 38 + 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{3} (38 - 5 \sqrt{57}) i}{2} \\ {(x_{2} + ω^{2} \cdot x_{4} + ω \cdot x_{6})}^{3} = & \frac{- 11 - 3 \sqrt{57}}{2} + 3 ω^{2} (\frac{- 29 + 3 \sqrt{57}}{2}) + 3 ω (\frac{47 - 7 \sqrt{57}}{2}) \\ = & \frac{- 38 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{3} (38 - 5 \sqrt{57}) i}{2} \end{matrix}

両辺の立方根を取ると

\begin{matrix} x_{1} + ω \cdot x_{3} + ω^{2} \cdot x_{5} = & \sqrt[3]{\frac{- 38 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{3} (38 + 5 \sqrt{57}) i}{2}} \\ x_{1} + ω^{2} \cdot x_{3} + ω \cdot x_{5} = & \sqrt[3]{\frac{- 38 - 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{3} (38 + 5 \sqrt{57}) i}{2}} \\ x_{2} + ω \cdot x_{4} + ω^{2} \cdot x_{6} = & \sqrt[3]{\frac{- 38 + 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{3} (38 - 5 \sqrt{57}) i}{2}} \\ x_{2} + ω^{2} \cdot x_{4} + ω \cdot x_{6} = & \sqrt[3]{\frac{- 38 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{3} (38 - 5 \sqrt{57}) i}{2}} \end{matrix}

さらに、以下のような関係式が得られる。

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{57} + ω \cdot 2 \cos \frac{14 π}{57} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{16 π}{57})}^{3} \\ = 3 x_{1} + 2 \cos \frac{2 π}{19} + 2 \cos \frac{16 π}{19} + 2 \cos \frac{14 π}{19} + 6 (x_{5} + 2) + 3 ω (2 x_{1} + x_{2} + 2 \cos \frac{4 π}{19} + 2 \cos \frac{6 π}{19} + 2 \cos \frac{10 π}{19}) + 3 ω^{2} (2 x_{1} + x_{6} + 2 \cos \frac{4 π}{19} + 2 \cos \frac{6 π}{19} + 2 \cos \frac{10 π}{19}) \\ {(2 \cos \frac{2 π}{57} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{14 π}{57} + ω \cdot 2 \cos \frac{16 π}{57})}^{3} \\ = 3 x_{1} + 2 \cos \frac{2 π}{19} + 2 \cos \frac{16 π}{19} + 2 \cos \frac{14 π}{19} + 6 (x_{5} + 2) + 3 ω^{2} (2 x_{1} + x_{2} + 2 \cos \frac{4 π}{19} + 2 \cos \frac{6 π}{19} + 2 \cos \frac{10 π}{19}) + 3 ω (2 x_{1} + x_{6} + 2 \cos \frac{4 π}{19} + 2 \cos \frac{6 π}{19} + 2 \cos \frac{10 π}{19}) \end{matrix}

両辺の立方根を取り、正十九角形の結果等を代入することより $\cos (2 π / 57)$ を求めることができる。

正五十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十七角形は折紙により作図可能である。