補群

テンプレート:読み仮名 とは、数学（特に群論として知られる代数学の分野) において、部分群に対して定義される補集合のような概念である。

定義

群 G に於ける部分群 H の補群とは、 G の部分群 K で以下の二条件を満たすものをいうテンプレート:要検証

• $HK=G,$
• $H\cap K=\{e\}.$

ここで HK は部分集合 { hk | h ∈ H, k ∈ K } を、また e は単位元を表す。 なお、同じことであるが、 「任意の $g\in G$ が、$h\in H,k\in K$ を使って $g=hk$ と 一意的 に表すことができる。」 と言い換えることができる。

この関係は対称性がある。すなわち、K が H の補群ならば、H は K の補群である 。

ここで、H および K については、必ずしも G の正規部分群である必要はない。

性質

• 補群は必ずしも存在するとは限らない。
• もし補群が存在するとしても、それがただ一つとも限らない。すなわちG の相異なる部分群 K₁ および K₂ があって、ともに H の補群であるようなものが存在することもありうる。
• もし K が G に於ける H の補群であるとき、K の要素は、H の (左右の) 剰余類の完全代表系を成す（下記補足説明も参照）。
• H が正規部分群の場合は、補群 K は、商群 G/H と同型である。補群が複数存在するならば、それらはすべて G/H と同型である。
• テンプレート:Ill2 は、有限群の正規ホール部分群の補群の存在を保証する。

補足

三番目の性質について数式で書くと以下のようになる。 テンプレート:Indent テンプレート:Indent テンプレート:要出典範囲 最初の条件は、補群の定義の一番目の条件 G = H K より明らか。 二番目の条件は、もし $H{k}_1\cap H{k}_2\ne \mathrm{\varnothing }$ ならば、ある $g\in G$ に対して、$h_1,h_2\in H$ が存在して、 $g=h_1{k}_1=h_2{k}_2$ と二通りに表すことができる。 これは、最初の定義の所で述べた表し方の一意性 に矛盾する。

この説明は、右剰余類のケースであるが、左剰余類についても同様である。

例

• 群 G を

$G=\{0,1,2,3,4,5\}$ とし、群演算を6を法とする加法とする。H と K をそれぞれ、$H=\{0,2,4\},K=\{0,3\}$ とすると、H と K は G の部分群であり、互いに他方の補群になっている テンプレート:Efn。

以下は、ある部分群に対して、補群が複数存在する例である。

• 群 G を、複素数全体に演算を加法とした $G:=(ℂ,+)$ とする。実数全体 $H:=ℝ$ は G の部分群である。ここで

$K_1:=\{bi|b\in ℝ\}$ (i は虚数単位)、つまり純虚数全体の集合とする。まず $K_1$ が G の部分群であることはすぐに確かめられる。$H\cap K_1=\{0\}$ もすぐに分かるだろう。さらに、任意の複素数$c=a+bi(a,b\in ℝ)$ に対して、$a\in H,bi\in K_1$ であるから、$H{K}_1=G$ も示される。従って、$K_1$ は H の補群である。

• 上の G = C の例において、さらに、

$K_2:=\{b+bi|b\in ℝ\}$ とする。まず、これが G の部分群であることと、$H\cap K_2=\{0\}$ は容易に確かめられる。さらに、任意の複素数 $c=a+bi(a,b\in ℝ)$ に対して、$c=(a-b)+(b+bi)$と変形すれば、$a-b\in H,b+bi\in K_2$ だから $H{K}_2=G$ も満たす。

従って、$K_2$ も H の補群である。(性質の二番目でも述べたが) 補群が複数存在する例である。

以下では逆に補群が存在しない例を示す。

• 整数全体の加法群 $G=(\mathbb{Z},+)$ を考える。任意の部分群を $H$ とし、その中から適当に元 $a$ を一つ取って固定する。すると、部分群の定義から $a$ の倍数 テンプレート:Efn　はすべて

$na:=\stackrel{ntimes}{\overbrace{a+a+\cdots +a}}\in H$ でなければならない。

もし二つの部分群 H と K があれば、その中から適当に一元ずつ $a\in H,b\in K$ を取り出せば $ab\in H,ba\in K$ であり、明らかに $ab=ba$。従って (H か K のいずれかが $\{0\}$ でない限り) 補群の条件に必要な $H\cap K=\{0\}$ を満たすことは決してない。よって、$(Z,+)$ の (非自明な) 部分群には対応する補群は存在しない。

他の積との関係

補群は、直積 および 半直積 の一般化である。 一般の補群に対応する積を テンプレート:Ill2 と呼ぶ。 H と K が非自明な場合 テンプレート:Efn テンプレート:訳語疑問点範囲

存在性

上に述べたように、補群は必ずしも存在するとは限らない。

p-補群（テンプレート:Lang-en-short）は、シロー p-部分群の補群である。 Frobenius の定理や Thompson の定理によって、 群がテンプレート:Ill2を持つ条件が示される。 テンプレート:Ill2 は、有限群の中で可解群 を任意の素数 p に対して、p-補群を持つものとして特徴付けた。シロー系の構成にも p-補群は利用される。

テンプレート:Ill2に於けるテンプレート:Ill2の補群はテンプレート:Ill2と呼ばれる。

テンプレート:Ill2 とは、任意の部分群が補群を持つ群である。

関連項目

• en:Product of group subsets

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book