遷移行列

遷移行列（T行列）は散乱理論において遷移振幅を与える行列である。

遷移行列は散乱振幅と深いつながりがある。

定義

散乱理論ではしばしば、シュレディンガー方程式を以下の積分方程式（リップマン-シュウィンガー方程式）に書き換えて問題を解く。

| ψ^{\pm} ⟩ = | ϕ ⟩ + \hat{G_{0}^{\pm}} \hat{V} | ψ^{\pm} ⟩

ここで $| ϕ ⟩$ は入射状態、 $| ψ^{\pm} ⟩$ は散乱状態（+は外向き、-は内向きを表す）、 $\hat{V}$ は散乱体との相互作用を表す演算子、 $\hat{G_{0}^{\pm}}$ は相互作用が無い状態のグリーン演算子である。

遷移演算子 $\hat{T}$ は、次のように入射状態 $| ϕ ⟩$ と散乱状態 $| ψ^{\pm} ⟩$ を結びつける演算子 $\hat{T}$ として定義される。

\hat{T} | ϕ ⟩ = \hat{V} | ψ^{\pm} ⟩

よって遷移演算子を用いるとリップマン-シュウィンガー方程式は以下のように書き換えられる。

| ψ^{\pm} ⟩ = | ϕ ⟩ + \hat{G_{0}^{\pm}} \hat{T} | ϕ ⟩

これはもはや積分方程式ではなく、右辺で未知なものは遷移演算子のみである。つまりリップマン-シュウィンガー方程式を解く代わりに遷移演算子 $\hat{T}$ を求めることで散乱状態が求められることになる。

遷移演算子を、相互作用領域への入射状態 $| ϕ ⟩$ と散乱状態 $| ψ^{\pm} ⟩$ を用いて行列表示したものを遷移行列 $T$ という。よって行列要素は $⟨ ψ^{\pm} | \hat{T} | ϕ ⟩$ となる。

リップマン-シュウィンガー方程式と遷移演算子の定義より以下の関係が得られる。

\hat{T} = \hat{V} + \hat{V} \hat{G_{0}^{\pm}} \hat{T}

これは以下のように表すこともできる。

\hat{T} = \hat{V} + \hat{V} \hat{G_{0}^{\pm}} \hat{V} + \hat{V} \hat{G_{0}^{\pm}} \hat{V} \hat{G_{0}^{\pm}} \hat{V} + \dots

このような遷移演算子についての級数を、途中で打ち切ることをボルン近似という。たとえば1次のボルン近似では $\hat{T} = \hat{V}$ と近似する。