ラマヌジャンのタウ函数のソースを表示

'''ラマヌジャンのタウ関数'''（ラマヌジャンのタウかんすう）は，{{harvs|txt|authorlink=Srinivasa Ramanujan|last=Ramanujan|year=1916}} によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数 {{math|''&tau;'': '''N''' &rarr; '''Z'''}} である：
:<math>\sum_{n\geq 1}\tau(n)q^n=q\prod_{n\geq 1}(1-q^n)^{24} = \eta(z)^{24}=\Delta(z),</math>
ただし {{math|Im ''z'' > 0}} なる {{mvar|z}} に対し {{math|1=''q'' = exp(2''&pi;iz'')}} であり，{{mvar|&eta;}} は[[デデキントのイータ関数]]であり，関数 {{math|&Delta;(''z'')}} は[[ラマヌジャンのデルタ関数]]と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の[[正則関数|正則]][[尖点形式]]である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる．{{仮リンク|Ian G. Macdonald|en|Ian G. Macdonald|label=イアン・G・マクドナルド}} (Ian G. Macdonald) による公式が {{harvtxt|Dyson|1972}} において与えられた．
[[Image:Absolute Tau function for x up to 16,000 with logarithmic scale.JPG|thumbnail|対数スケールでの {{math|''n'' < 16,000}} に対する {{math|{{mabs|''&tau;''(''n'')}}}} の値．青い線は {{math|121}} の倍数であるような {{mvar|n}} の値だけを拾い出している．]]

== 値 ==
タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（{{OEIS|id=A000594}}）：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! {{mvar|n}}
|1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16
|-
! {{math|''&tau;''(''n'')}}
|1||−24||252||−1472||4830||−6048||−16744||84480||−113643||−115920||534612||−370944||−577738||401856||1217160||987136
|}

==ラマヌジャン予想==
{{harvtxt|Ramanujan|1916}} は {{math|''&tau;''(''n'')}} の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった：

* {{math|1=''&tau;''(''mn'') = ''&tau;''(''m'')''&tau;''(''n'')}} が {{math|1=gcd(''m'', ''n'') = 1}} のとき成り立つ（つまり {{math|''&tau;''}} は[[乗法的関数]]である）．
* {{math|1=''&tau;''(''p''{{sup|''r'' + 1}}) = ''&tau;''(''p'')''&tau;''(''p''{{sup|''r''}}) − ''p''{{sup|11}}''&tau;''(''p''{{sup|''r'' − 1}})}} が {{mvar|p}} が素数で {{math|''r'' > 0}} のとき成り立つ．
* {{math|1={{mabs|''&tau;''(''p'')}} &le; 2''p''{{sup|11/2}}}} がすべての[[素数]] {{mvar|p}} に対して成り立つ．

最初の2つの性質は {{harvtxt|Mordell|1917}} によって証明され，[[ラマヌジャン予想]]と呼ばれる3つ目は，[[ピエール・ルネ・ドリーニュ|Deligne]] により1974年に[[ヴェイユ予想]]の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．

==タウ関数の合同関係==
{{math|''k'' ∈ '''Z'''}} と {{math|''n'' ∈ '''Z'''<sub>&gt;0</sub>}} に対して，{{math|''σ''<sub>''k''</sub>(''n'')}} を {{mvar|n}} の約数の {{mvar|k}} 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが {{math|''σ''<sub>''k''</sub>(''n'')}} を用いて表せる．いくつかを挙げる<ref name=swd>Page 4 of {{harvnb|Swinnerton-Dyer|1973}}</ref>：
#<math>\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\ \bmod\ 2^{11}\text{ for }n\equiv 1\ \bmod\ 8</math><ref name=kolberg>Due to {{harvnb|Kolberg|1962}}</ref>
#<math>\tau(n)\equiv 1217 \sigma_{11}(n)\ \bmod\  2^{13}\text{ for } n\equiv 3\ \bmod\ 8</math><ref name=kolberg/>
#<math>\tau(n)\equiv 1537 \sigma_{11}(n)\ \bmod\ 2^{12}\text{ for }n\equiv 5\ \bmod\ 8</math><ref name=kolberg/>
#<math>\tau(n)\equiv 705 \sigma_{11}(n)\ \bmod\ 2^{14}\text{ for }n\equiv 7\ \bmod\ 8</math><ref name=kolberg/>
#<math>\tau(n)\equiv n^{-610}\sigma_{1231}(n)\ \bmod\ 3^{6}\text{ for }n\equiv 1\ \bmod\ 3</math><ref name=ashworth>Due to {{harvnb|Ashworth|1968}}</ref>
#<math>\tau(n)\equiv n^{-610}\sigma_{1231}(n)\ \bmod\ 3^{7}\text{ for }n\equiv 2\ \bmod\ 3</math><ref name=ashworth/>
#<math>\tau(n)\equiv n^{-30}\sigma_{71}(n)\ \bmod\ 5^{3}\text{ for }n\not\equiv 0\ \bmod\ 5</math><ref>Due to Lahivi</ref>
#<math>\tau(n)\equiv n\sigma_{9}(n)\ \bmod\ 7\text{ for }n\equiv 0,1,2,4\ \bmod\ 7</math><ref name=Lehmer>Due to D. H. Lehmer</ref>
#<math>\tau(n)\equiv n\sigma_{9}(n)\ \bmod\ 7^2\text{ for }n\equiv 3,5,6\ \bmod\ 7</math><ref name=Lehmer/>
#<math>\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)\ \bmod\ 691.</math><ref>Due to {{harvnb|Ramanujan|1916}}</ref>

素数 {{math|''p'' ≠ 23}} に対して，次が成り立つ<ref name=swd/><ref>Due to {{harvnb|Wilton|1930}}</ref>：
<ol start=11>
<li><math>\tau(p)\equiv 0\ \bmod\ 23\text{ if }\left(\frac{p}{23}\right)=-1</math>
<li><math>\tau(p)\equiv \sigma_{11}(p)\ \bmod\ 23^2\text{ if } p\text{ is of the form } a^2+23b^2</math><ref>Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5</ref>
<li><math>\tau(p)\equiv -1\ \bmod\ 23\text{ otherwise}.</math>
</ol>

=={{math|''&tau;''(''n'')}} に関する予想==
{{mvar|f}} はウェイト {{mvar|k}} の integer newform でありフーリエ係数 {{math|''a''(''n'')}} は整数であるとする．次の問題を考える： {{mvar|f}} が[[虚数乗法]]をもたないとき，ほとんどすべての素数 {{mvar|p}} は <math> a(p) \ne 0 \bmod p</math> という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり，{{mvar|p}} と互いに素な {{mvar|n}} に対して {{math|''a''(''n'') mod ''p''}} が決定されたが，{{math|''a''(''p'') mod ''p''}} の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数 {{mvar|p}} に対して {{math|1=''a''(''p'') = 0}} でありしたがって {{math|0 mod ''p''}} であることを保証する．無限個の素数 {{mvar|p}} に対して {{math|''a''(''p'') &ne; 0 mod ''p''}} なるウェイト {{math|> 2}} の虚数乗法を持たない {{mvar|f}} の例は知られていない（ほとんどすべての {{mvar|p}} に対しては正しいのであるが）．無限個の {{mvar|p}} に対して {{math|1=''a''(''p'') = 0 mod ''p''}} であるような例もまた知られていない．本当に無限個の {{mvar|p}} に対して {{math|1=''a''(''p'') = 0 mod ''p''}} であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト {{math|12}} の）ラマヌジャンの {{math|''&tau;''(''p'')}} を挙げた．{{math|1=''&tau;''(''p'') = 0 mod ''p''}} であることが分かっている最大の {{mvar|p}} は {{math|1=''p'' = 7758337633}} である．方程式 {{math|1=''&tau;''(''p'') ≡ 0 mod ''p''}} の解は {{math|10{{sup|10}}}} まででは {{math|1=''p'' = 2}}, {{math|3}}, {{math|5}}, {{math|7}}, {{math|2411}}, {{math|7758337633}} のみである<ref name=Lygeros>Due to [http://www.lygeros.org/articles?n=11713&l=fr N. Lygeros and O. Rozier 2010] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140407073622/http://www.lygeros.org/articles?n=11713&l=fr |date=2014年4月7日 }}<!--http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs11139-012-9420-8.pdf--></ref>．

{{harvtxt|Lehmer|1947}} はすべての {{mvar|n}} に対して {{math|''&tau;''(''n'') &ne; 0}} であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは {{math|''n'' < 214928639999}} に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p.&nbsp;22)．次の表はこの条件がいくつまでの {{mvar|n}} について成り立つかの進展をまとめたものである．

{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|n}} !! 文献
|-
| 3316799 || Lehmer (1947)
|-
| 214928639999 || Lehmer (1949)
|-
| 10{{sup|15}} || Serre (1973, p.&nbsp;98), Serre (1985)
|-
| 1213229187071998 || Jennings (1993)
|-
| 22689242781695999 || Jordan and Kelly (1999)
|-
| 22798241520242687999 || Bosman (2007)
|-
| 982149821766199295999 || Zeng and Yin (2013)
|-
| 816212624008487344127999 || Derickx, van Hoeij, and Zeng (2013)
|}

==脚注==
{{reflist|20em}}

==参考文献==
*{{Citation
| last=Apostol
| first=T. M.
| authorlink=Tom M. Apostol
| title=Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory
| year=1997
| journal=New York: Springer-Verlag 2nd ed.
}}
*{{Citation
| last=Ashworth
| first=M. H.
| title=Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford)
| year=1968
}}
*{{citation | last1=Dyson | first1=F. J. | author1-link=Freeman Dyson | title=Missed opportunities | zbl=0271.01005 | journal=Bull. Amer. Math. Soc. | volume=78 | issue=5 | pages=635-652 | year=1972 | doi=10.1090/S0002-9904-1972-12971-9}}
*{{Citation
| last=Kolberg
| first=O.
| title=Congruences for Ramanujan's function τ(''n'')
| journal=Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser.
| issue=11
| year=1962
| mr=0158873 | zbl=0168.29502
}}
*{{citation | last1=Lehmer | first1=D.H. | author1-link=D. H. Lehmer | title=The vanishing of Ramanujan’s function τ(n) | zbl=0029.34502 | journal=Duke Math. J. | volume=14 | pages=429–433 | year=1947 | doi=10.1215/s0012-7094-47-01436-1}}
*{{Citation
| last=Lygeros
| first=N.
| title=A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)
| url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Lygeros/lygeros5.pdf
| year=2010
| journal=Journal of Integer Sequences
| volume=13
| pages=Article 10.7.4
}}
*{{Citation | last1=Mordell | first1=Louis J. | author1-link=Louis Mordell | title=On Mr.  Ramanujan's empirical expansions of modular functions. | url=https://archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 | jfm=46.0605.01 | year=1917 | journal=[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] | volume=19 | pages=117–124}}
*{{Citation
| last=Newman
| first=M.
| title=A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067
| year=1972
| journal=National Bureau of Standards.
}}
*{{Citation | last1=Rankin | first1=Robert A. | editor1-last=Andrews | editor1-first=George E. | title=Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987) | url=https://books.google.co.jp/books?id=GJUEAQAAIAAJ&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | isbn=978-0-12-058560-1 | mr=938968 | year=1988 | chapter=Ramanujan's tau-function and its generalizations | pages=245–268}}
*{{Citation
| last=Ramanujan
| first=Srinivasa
| author-link=Srinivasa Ramanujan
| title=On certain arithmetical functions
| journal=Trans. Cambridge Philos. Soc.
| year=1916
| volume=22
| issue=9
| pages=159–184
| mr=2280861
}}
*{{Citation
| last=Serre
| first=J-P.
| title=Une interprétation des congruences relatives à la fonction <math>\tau</math> de Ramanujan
| journal=Séminaire Delange-Pisot-Poitou
| volume=14
| year=1968
| author-link=Jean-Pierre Serre
| url = http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1967-1968__9_1_A13_0
}}
*{{Citation
| last=Swinnerton-Dyer
| first=H. P. F.
| author-link=Peter Swinnerton-Dyer
| title=Modular functions of one variable, III
| contribution=On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms
| year=1973
| isbn=978-3-540-06483-1
| series=Lecture Notes in Mathematics
| volume=350
| url=http://www.springerlink.com/content/978-3-540-06483-1
| mr=0406931
| pages=1–55
| editor1-last=Kuyk
| editor1-first=Willem
| editor2-last=Serre
| editor2-first=Jean-Pierre
| editor2-link=Jean-Pierre Serre
}}
*{{Citation
| last=Wilton
| first=J. R.
| title=Congruence properties of Ramanujan's function τ(''n'')
| year=1930
| journal=Proceedings of the London Mathematical Society
| volume=31
| pages=1–10
| doi=10.1112/plms/s2-31.1.1
}}

{{DEFAULTSORT:らまぬしやんのたうかんすう}}
[[Category:モジュラー形式]]
[[Category:乗法的関数]]
[[Category:シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]