ラマヌジャンのタウ函数

ラマヌジャンのタウ関数（ラマヌジャンのタウかんすう）は，テンプレート:Harvs によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数 テンプレート:Math である：

$\sum _{n\ge 1}\tau (n)q^n=q\prod _{n\ge 1}(1-q^n{)}^{24}=\eta (z{)}^{24}=\mathrm{\Delta }(z),$

ただし テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Math であり，テンプレート:Mvar はデデキントのイータ関数であり，関数 テンプレート:Math はラマヌジャンのデルタ関数と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則尖点形式である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる．テンプレート:仮リンク (Ian G. Macdonald) による公式が テンプレート:Harvtxt において与えられた．

対数スケールでの テンプレート:Math に対する テンプレート:Math の値．青い線は テンプレート:Math の倍数であるような テンプレート:Mvar の値だけを拾い出している．

値

タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（テンプレート:OEIS）：

テンプレート:Mvar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
テンプレート:Math	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

ラマヌジャン予想

テンプレート:Harvtxt は テンプレート:Math の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった：

• テンプレート:Math が テンプレート:Math のとき成り立つ（つまり テンプレート:Math は乗法的関数である）．
• テンプレート:Math が テンプレート:Mvar が素数で テンプレート:Math のとき成り立つ．
• テンプレート:Math がすべての素数 テンプレート:Mvar に対して成り立つ．

最初の2つの性質は テンプレート:Harvtxt によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．

タウ関数の合同関係

テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して，テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の約数の テンプレート:Mvar 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが テンプレート:Math を用いて表せる．いくつかを挙げる：

1. $\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)mod{2}^{11}\text{ for }n\equiv 1mod8$
2. $\tau (n)\equiv 1217{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{13}\text{ for }n\equiv 3mod8$
3. $\tau (n)\equiv 1537{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{12}\text{ for }n\equiv 5mod8$
4. $\tau (n)\equiv 705{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{14}\text{ for }n\equiv 7mod8$
5. $\tau (n)\equiv n^{-610}{\sigma }_{1231}(n)mod{3}^6\text{ for }n\equiv 1mod3$
6. $\tau (n)\equiv n^{-610}{\sigma }_{1231}(n)mod{3}^7\text{ for }n\equiv 2mod3$
7. $\tau (n)\equiv n^{-30}{\sigma }_{71}(n)mod{5}^3\text{ for }n\equiv ̸0mod5$
8. $\tau (n)\equiv n{\sigma }_9(n)mod7\text{ for }n\equiv 0,1,2,4mod7$
9. $\tau (n)\equiv n{\sigma }_9(n)mod{7}^2\text{ for }n\equiv 3,5,6mod7$
10. $\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)mod691.$

素数 テンプレート:Math に対して，次が成り立つ：

11. $\tau (p)\equiv 0mod23\text{ if }\left(\frac{p}{23}\right)=-1$
12. $\tau (p)\equiv {\sigma }_{11}(p)mod23^2\text{ if }p\text{ is of the form }{a}^2+23b^2$
13. $\tau (p)\equiv -1mod23\text{ otherwise}.$

テンプレート:Math に関する予想

テンプレート:Mvar はウェイト テンプレート:Mvar の integer newform でありフーリエ係数 テンプレート:Math は整数であるとする．次の問題を考える： テンプレート:Mvar が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数 テンプレート:Mvar は $a(p)\ne 0modp$ という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり，テンプレート:Mvar と互いに素な テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が決定されたが，テンプレート:Math の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math でありしたがって テンプレート:Math であることを保証する．無限個の素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math なるウェイト テンプレート:Math の虚数乗法を持たない テンプレート:Mvar の例は知られていない（ほとんどすべての テンプレート:Mvar に対しては正しいのであるが）．無限個の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math であるような例もまた知られていない．本当に無限個の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト テンプレート:Math の）ラマヌジャンの テンプレート:Math を挙げた．テンプレート:Math であることが分かっている最大の テンプレート:Mvar は テンプレート:Math である．方程式 テンプレート:Math の解は テンプレート:Math まででは テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math のみである．

テンプレート:Harvtxt はすべての テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは テンプレート:Math に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22)．次の表はこの条件がいくつまでの テンプレート:Mvar について成り立つかの進展をまとめたものである．

テンプレート:Mvar	文献
3316799	Lehmer (1947)
214928639999	Lehmer (1949)
10テンプレート:Sup	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
1213229187071998	Jennings (1993)
22689242781695999	Jordan and Kelly (1999)
22798241520242687999	Bosman (2007)
982149821766199295999	Zeng and Yin (2013)
816212624008487344127999	Derickx, van Hoeij, and Zeng (2013)

参考文献

• テンプレート:Citation
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