像 (圏論)のソースを表示

[[圏 (数学)|圏]] {{mvar|C}} と {{mvar|C}} における[[射 (圏論)|射]] <math>f\colon X\to Y</math> が与えられたとき，{{mvar|f}} の'''像'''（ぞう，{{lang-en-short|image}}）は[[単射 (圏論)|単射]] <math>h\colon I\to Y</math> であって以下の[[普遍性]]を満たすものである{{sfn|Mitchell|1965|p={{google books quote|id=hgJ3pTQSAd0C|page=12|12}}|loc=Section I.10}}：
* {{math|1=''f'' = ''hg''}} なる射 <math>g\colon X\to I</math> が存在する。
* 任意の対象 {{mvar|Z}} と射 <math>k\colon X\to Z</math> と単射 <math>l\colon Z\to Y</math> であって {{math|1=''f'' = ''lk''}} なるものに対し {{math|1=''h'' = ''lm''}} なる射 <math>m\colon I\to Z</math> が存在する。

[[Image:Image diagram category theory.svg|center|250px|像の普遍性]]

注意：
* そのような分解が存在するとは限らない。
* {{mvar|g}} は {{mvar|h}} の単射性（左可逆）により一意である。
* {{mvar|m}} は単射である。
* {{math|1=''h'' = ''lm''}} は（{{mvar|l}} の単射性より） {{mvar|m}} が一意であることを含んでいる。

{{mvar|f}} の像はしばしば {{math|im ''f''}} あるいは {{math|Im(''f'')}} と記される。

==例==
[[集合の圏]]において射 <math>f\colon X \to Y</math> の像は通常の[[像 (数学)|像]] <math>\{f(x) \mid x \in X\}</math> から {{mvar|Y}} への包含である。[[群の圏]]や[[アーベル群の圏]]や（左または右）[[環上の加群|加群]]の圏など多くの{{仮リンク|具体圏|en|Concrete category}}において、射の像は集合の圏における対応する射の像である。

[[零対象]]とすべての射に対して[[核 (圏論)|核]]と[[余核 (圏論)|余核]]を持つ任意の{{仮リンク|正規圏|en|normal category}}において、射 {{mvar|f}} の像は 
:{{math|1=im ''f'' = ker coker ''f''}}
と表せる。[[アーベル圏]]（これはとくに双正規である）において {{mvar|f}} が単射ならば {{math|1=''f'' = ker coker ''f''}} であり、したがって {{math|1=''f'' = im ''f''}} である。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Mitchell TOC}}

== 関連項目 ==
*[[部分対象]]
*[[余像]]
*[[像 (数学)]]

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:そう けんろん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:射]]