数え上げの積の法則のソースを表示

[[File:Multiplication-principle.svg|thumb|upright|The elements of the set {A, B} can combine with the elements of the set {1, 2, 3} in six different ways.]]
初等[[組合せ論]]における'''積の法則'''（せきのほうそく、{{lang-en-short|''rule of product''}}）あるいは'''乗法原理''' (''multiplication principle'') は基本的な{{ill2|組合せ原理|en|combinatorial principles}}（数え上げの基本原理）の一つである。それは、簡単に言えば「ある場合が {{mvar|a}} 通り、別のある場合が {{mvar|b}} 通りあるとき、それらを同時に行う場合は {{mvar|a&sdot;b}} 通りある」ことを述べるものである<ref name=transition>Johnston, William, and Alex McAllister. ''A transition to advanced mathematics''. Oxford Univ. Press, 2009. Section 5.1</ref><ref>{{cite web|url=http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut55_count.htm|title=College Algebra 
Tutorial 55: Fundamental Counting Principle|accessdate= December 20, 2014}}</ref>。

== 例 ==
: {{math|{{mset|''A'', ''B'', ''C''}}}} から一つと {{math|{{mset|''X'', ''Y''}}}} から一つを選ぶことは、{{math|{{mset|''AX'', ''AY'', ''BX'', ''BY'', ''CX'', ''CY''}}}} を一つ選ぶことである。
この例では、積の法則は {{math|3 × 2 {{=}} 6}} と表すことができる。

この例における集合 {{math|{{mset|''A'', ''B'', ''C''}}}} および {{math|{{mset|''X'', ''Y''}}}}は[[素集合|互いに交わらない]]が、それは必要なことではない。

例えば、{{math|{{mset|''A'', ''B'', ''C''}}}} から一つ選び、再度同じ集合から一つ選ぶとすれば、それは {{math|{{mset|''A'', ''B'', ''C''}}}} の要素からなる[[順序対]]を選ぶことと理解されるから、{{math|3 × 3 {{=}} 9}} 通りになる。

別な例として、ピザの注文で生地の種類を薄いか厚いかの {{math|2}} 種類と、トッピングをチーズ・ペペロニ・ソーセージの {{math|3}} 種類から選べるとすると、積の法則を用いれば、ピザの注文方法が {{math|2 × 3 {{=}} 6}} 通り可能であるとわかる。

== 応用 ==
[[集合論]]において、乗法原理は[[基数]]の積の定義に用いられる<ref name=transition />。集合の[[濃度 (数学)|濃度]]に関して <math display="block">
  |S_{1}|\cdot|S_{2}|\cdots|S_{n}| = |S_{1} \times S_{2} \times \cdots \times S_{n}|
</math> が成り立つ（右辺の {{math|×}} は[[直積集合|デカルト積]]演算である）。これらの各集合は有限集合である必要はなく、またこれら因子の数が有限個である必要もない。

== 関連概念 ==
[[数え上げの和の法則]]はもう一つの数え上げの基本原理である。簡単に言えば「ある場合が {{mvar|a}} 通り、別のある場合が {{mvar|b}} 通りで、それらを同時に行うことがないならば、それらの場合は {{math|''a'' + ''b''}} 通りある」ことを述べるものである<ref>Rosen, Kenneth H., ed. ''Handbook of discrete and combinatorial mathematics.'' CRC press, 1999.</ref>。

== 関連項目 ==
* {{ill2|組合せ原理|en|Combinatorial principles}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=MultiplicationPrinciple|title=Multiplication Principle}}
* {{PlanetMath|urlname=RuleOfProduct|title=rule of product}}
* {{ProofWiki|urlname=Product_Rule_for_Counting|title=Product Rule for Counting}}

{{DEFAULTSORT:かそえあけのせきのほうそく}}
[[Category:数学の原理]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]