数え上げの積の法則

The elements of the set {A, B} can combine with the elements of the set {1, 2, 3} in six different ways.

初等組合せ論における積の法則（せきのほうそく、テンプレート:Lang-en-short）あるいは乗法原理 (multiplication principle) は基本的なテンプレート:Ill2（数え上げの基本原理）の一つである。それは、簡単に言えば「ある場合が テンプレート:Mvar 通り、別のある場合が テンプレート:Mvar 通りあるとき、それらを同時に行う場合は テンプレート:Mvar 通りある」ことを述べるものである。

例

テンプレート:Math から一つと テンプレート:Math から一つを選ぶことは、テンプレート:Math を一つ選ぶことである。

この例では、積の法則は テンプレート:Math と表すことができる。

この例における集合 テンプレート:Math および テンプレート:Mathは互いに交わらないが、それは必要なことではない。

例えば、テンプレート:Math から一つ選び、再度同じ集合から一つ選ぶとすれば、それは テンプレート:Math の要素からなる順序対を選ぶことと理解されるから、テンプレート:Math 通りになる。

別な例として、ピザの注文で生地の種類を薄いか厚いかの テンプレート:Math 種類と、トッピングをチーズ・ペペロニ・ソーセージの テンプレート:Math 種類から選べるとすると、積の法則を用いれば、ピザの注文方法が テンプレート:Math 通り可能であるとわかる。

応用

集合論において、乗法原理は基数の積の定義に用いられる。集合の濃度に関して $$|S_1|\cdot |S_2|\cdots |S_n|=|S_1\times S_2\times \cdots \times S_n|$$ が成り立つ（右辺の テンプレート:Math はデカルト積演算である）。これらの各集合は有限集合である必要はなく、またこれら因子の数が有限個である必要もない。

関連概念

数え上げの和の法則はもう一つの数え上げの基本原理である。簡単に言えば「ある場合が テンプレート:Mvar 通り、別のある場合が テンプレート:Mvar 通りで、それらを同時に行うことがないならば、それらの場合は テンプレート:Math 通りある」ことを述べるものである。

関連項目

• テンプレート:Ill2

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki