配置集合のソースを表示

[[数学]]の[[集合論]]における'''配置集合'''{{sfn|ブルバキ|1968|p=10|loc=§2, 2}}（はいちしゅうごう、{{lang-de-short|''Belegungsmenge''}}）あるいは集合の冪（べき、{{lang-fr-short|''exponentiation ensembliste''}}）{{efn|{{harvtxt|ブルバキ|1968|p=28|loc=§4, 9 [訳注]}}「原文では，配置集合を作ることを «巾（＝累乗，exponentiation）» とよんでいるが，わが国の慣行では，部分集合の全体 {{math|𝔓(E)}} のことを «巾集合（英 power-set，独 Potenzmenge）» とよび，Belegungsmenge というドイツ語からの訳語 «配置集合» を {{math|E{{sup|I}}}} にあてる習慣があるので，ここでもそれにしたがった．」}}は、二つの[[集合]] {{mvar|E, F}} に対する[[二項演算|演算]]で、{{mvar|E}} から {{mvar|F}} への'''写像全体の集合'''{{sfn|ブルバキ|1968|p=10|loc=§2, 2}}を割り当てるものである。この集合は {{math|ℱ(''E'', ''F'')}}{{sfn|ブルバキ|1968|p=10|loc=§2, 2}} や {{mvar|F{{exp|E}}}} などと書かれる{{sfn|Halmos|1960}}。これはまた、{{mvar|E}} で添字付けられた {{mvar|F}} の[[元 (数学)|元]]の[[族 (数学)|族]]の全体 <math display="block">F^E=\prod_{e\in E} F = \{(x_e)_{e\in E}\mid x_e\in F\}</math>とも一致する{{sfn|ブルバキ|1968|p=28|loc=§4, 9}}。

== 例 ==
* {{math|ℝ{{exp|ℕ}}}} は[[実数|実]][[数列]]全体の成す集合を表す（[[数列空間]]も参照）。
* 任意の[[空集合|空]]でない集合 {{mvar|E}} に対し、{{mvar|E}} から[[空集合]] {{math|∅}} への写像は存在しない（{{mvar|E}} の元の[[像 (数学)|像]]となるべき元の存在は、{{math|∅}} がもともと元を持たないから、満たされることがない）。すなわち、{{math|1=∅{{exp|''E''}} = ∅ (''E'' ≠ ∅)}} が成り立つ。
* 任意の集合 {{mvar|F}} に対して、空集合から {{mvar|F}} への写像はただ一つ存在する（[[空写像]]、すなわち空な[[グラフ (函数)|グラフ]]を持つ写像）。従って、配置集合 {{math|1=''F''{{exp|∅}} = {{mset|∅}}}} は[[一元集合]]である。

== 濃度 ==
{{mvar|E}} および {{mvar|F}} は[[有限集合]]とし、集合 {{mvar|E}} の[[濃度 (数学)|位数]]を {{math|{{abs|''E''}}}} のように書くとき、配置集合の濃度に関して <math display="block">\mathopen|F^E\mathclose| = \mathopen|F\mathclose|^{\mathopen|E\mathclose|}</math>が成り立つことが示せる（[[重複順列]]の項を参照）。

{{mvar|E}} または {{mvar|F}} が無限集合のとき、上記の等式は[[濃度 (数学)|濃度]]の冪の定義として用いられる。このとき、{{mvar|F{{exp|E}}}} の濃度が {{mvar|E}} および {{mvar|F}} の濃度のみで決まる（つまり、濃度が同じならばそのような集合の取り方に依存しない）ことが示せる。

== 歴史 ==
こんにち配置集合と呼ばれる構成を導入したのは[[ゲオルク・カントール]]である{{sfn|Cantor|1895|loc=§4}}。カントールが {{de|"{{仮リンク|割り当て (集合論)|de|Belegung (Mathematik)|label=Belegung}}"}}{{efn|直訳すれば「割り当て」({{ill2|割り当て (数理論理学)|en|Assignment (mathematical logic)|label=assignment}})。}} と呼んだ「{{mvar|N}} の元に対する {{mvar|M}} に値をとる'''配置'''」（{{lang-en-short|"covering"}}{{sfn|Dauben|1990|p={{google books quote| id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|174}}}}, {{lang-fr-short|« recouvrement »}}{{efn|直訳すれば「被覆」だが、[[集合の被覆]]と混同してはならない。}}）とは、「{{mvar|N}} の各元 {{mvar|n}} に {{mvar|M}} の定まった元を割り当てる規則であって、{{mvar|M}} の元は繰り返し用いてよい{{sfn|Cantor|1895|p=487}}{{sfn|Dauben|1990|p={{google books quote| id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|174}}}}」というもので、そのような規則は今日われわれが {{mvar|N}} から {{mvar|M}} への[[写像]]と呼んでいるものに他ならない。{{mvar|N}} における個々の配置を、規則 {{mvar|f}} を明示して {{math|''f''(''N'')}} と書くことにすれば、すべての {{math|''f''(''N'')}} を元とする集合&mdash;すなわち {{mvar|M}} に値をとる {{mvar|N}} の相異なる配置全体の成す集合&mdash; を「{{mvar|N}} の {{mvar|M}} による配置集合」と呼び、カントールはこれを {{math|1=(''N''{{!}}''M'')}} で表した&mdash;すなわち {{math|1=(''N''{{!}}''M'') = {{mset|''f''(''N'')}}}}{{sfn|Cantor|1895|p=487}}{{sfn|Dauben|1990|p={{google books quote| id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|174}}}}。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
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=== 出典 ===
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== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|first=ニコラ|last=ブルバキ|authorlink=ニコラ・ブルバキ|series=[[数学原論|ブルバキ数学原論]] 4|title=集合論 要約|publisher=東京書籍|translator=前原昭二|year=1968|isbn=978-4-489-00104-8|ref=harv}}
*{{Cite journal|last=Cantor|first=Georg|year=1895|title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre|journal=Mathematische Annalen|issue=XLVI|pages=481-496|publisher=Teubner|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0046?tify=%7B%22pages%22:%5B499%5D,%22view%22:%22info%22%7D|ref=harv}}
**{{citation|first=Georg |last=Cantor |url=http://www.bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/th%C3%A9orie-des-nombres/contributions-au-fondement-de-la-th%C3%A9orie-des-ensembles-transfinis |title=Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis |year= 2012 |others=traduit et commenté par J.-P. Belna|publisher= sur [[Bibnum]].}} ([http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/Texte-cantor-transfinis.pdf PDF])
**{{citation|editor=Philip E. B. Jourdain trans.|first=Georg |last=Cantor |title=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|series=Dover Books on Mathematic |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cantor1.pdf |chapter=Article I. (1895)|pages=85&ndash;136|year=1955|origyrear=1915|publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-60045-1}}
**{{citation|editor=Philip E. B. Jourdain trans.|first=Georg |last=Cantor |title=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|chapter-url={{Google books|aagYb7FgeAMC|page=85|plainurl=yes}}|url={{Google books|aagYb7FgeAMC|Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|plainurl=yes}} |chapter=Article I. (1895)|pages=85&ndash;136|year=2007|origyear=1915|publisher=Cosimo, Inc. |isbn=978-1-60206-442-3}}
* {{citation|first=Joseph Warren |last=Dauben |title=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite | url={{google books|n3t4b6GUlhAC |plain-url=yes}} | publisher=Princeton University Press |year= 1990| |isbn=978-0-691-02447-9}}
* {{citation|author-link= Paul Halmos|last= Halmos |first= Paul |title= Naive Set Theory |location= Princeton, NJ |publisher= D. Van Nostrand Company |year= 1960}}; 
**Reprint: {{citation|publisher= Springer-Verlag |location= New York |year= 1974 | isbn= 0-387-90092-6|ref={{sfnref|Halmos|1974}}}};
**Reprint (paperback): {{citation|publisher= Martino Fine Books |year= 2011 | isbn=978-1-61427-131-4|ref={{sfnref|Halmos|2011}}}}

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
{{Div col}}
* [[指数対象]]
* {{仮リンク|集合算|fr|Opération ensembliste}}
* [[集合の圏]]
* [[冪]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|配置集合}}
* {{nlab|id=function+set|title=function set}}
* {{MathWorld|urlname=MappingSpace|title=Mapping Space}}

{{DEFAULTSORT:はいちしゆうこう}}
[[Category:ゲオルク・カントール]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]