配置集合

数学の集合論における配置集合テンプレート:Sfn（はいちしゅうごう、テンプレート:Lang-de-short）あるいは集合の冪（べき、テンプレート:Lang-fr-short）テンプレート:Efnは、二つの集合テンプレート:Mvar に対する演算で、テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への写像全体の集合テンプレート:Sfnを割り当てるものである。この集合はテンプレート:Math テンプレート:Sfn やテンプレート:Mvar などと書かれるテンプレート:Sfn。これはまた、テンプレート:Mvar で添字付けられたテンプレート:Mvar の元の族の全体 $F^{E} = \prod_{e \in E} F = {(x_{e})_{e \in E} ∣ x_{e} \in F}$ とも一致するテンプレート:Sfn。

例

テンプレート:Math は実数列全体の成す集合を表す（数列空間も参照）。
任意の空でない集合テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar から空集合テンプレート:Math への写像は存在しない（テンプレート:Mvar の元の像となるべき元の存在は、テンプレート:Math がもともと元を持たないから、満たされることがない）。すなわち、テンプレート:Math が成り立つ。
任意の集合テンプレート:Mvar に対して、空集合からテンプレート:Mvar への写像はただ一つ存在する（空写像、すなわち空なグラフを持つ写像）。従って、配置集合テンプレート:Math は一元集合である。

テンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar は有限集合とし、集合テンプレート:Mvar の位数をテンプレート:Math のように書くとき、配置集合の濃度に関して $| F^{E} | = | F |^{| E |}$ が成り立つことが示せる（重複順列の項を参照）。

テンプレート:Mvar またはテンプレート:Mvar が無限集合のとき、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられる。このとき、テンプレート:Mvar の濃度がテンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar の濃度のみで決まる（つまり、濃度が同じならばそのような集合の取り方に依存しない）ことが示せる。

こんにち配置集合と呼ばれる構成を導入したのはゲオルク・カントールであるテンプレート:Sfn。カントールがテンプレート:De テンプレート:Efn と呼んだ「テンプレート:Mvar の元に対するテンプレート:Mvar に値をとる配置」（テンプレート:Lang-en-short テンプレート:Sfn, テンプレート:Lang-fr-short テンプレート:Efn）とは、「テンプレート:Mvar の各元テンプレート:Mvar にテンプレート:Mvar の定まった元を割り当てる規則であって、テンプレート:Mvar の元は繰り返し用いてよいテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn」というもので、そのような規則は今日われわれがテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への写像と呼んでいるものに他ならない。テンプレート:Mvar における個々の配置を、規則テンプレート:Mvar を明示してテンプレート:Math と書くことにすれば、すべてのテンプレート:Math を元とする集合—すなわちテンプレート:Mvar に値をとるテンプレート:Mvar の相異なる配置全体の成す集合— を「テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar による配置集合」と呼び、カントールはこれをテンプレート:Math で表した—すなわちテンプレート:Math テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。