五十四角形

正五十四角形

五十四角形（ごじゅうよんかくけい、ごじゅうよんかっけい、pentacontatetragon）は、多角形の一つで、54本の辺と54個の頂点を持つ図形である。内角の和は9360°、対角線の本数は1377本である。

正五十四角形

正五十四角形においては、中心角と外角は6.666666…°で、内角は173.333333…°となる。一辺の長さが a の正五十四角形の面積 S は

$S=\frac{27}{2}{a}^2\cot \frac{\pi }{54}{a}^2$

関係式

以下のようにα、β、γを定義すると

$\begin{array}{cc}& \alpha =2\cos \frac{2\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{34\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{38\pi }{54}\\ & \beta =2\cos \frac{10\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{46\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{26\pi }{54}\\ & \gamma =2\cos \frac{50\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{14\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{22\pi }{54}\\ \end{array}$

三次方程式の係数を求めると

$\begin{array}{cc}& \alpha +\beta +\gamma =0\\ & \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3\\ & \alpha \beta \gamma =1\\ \end{array}$

三次方程式は

$x^3-3x-1=0$

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

$\alpha =2\cos (\frac{1}{3}\arccos \frac{1}{2})=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt[3]{-{\omega }^2}+\sqrt[3]{-\omega }$

三次方程式の係数を求めると

$\begin{array}{cc}& 2\cos \frac{2\pi }{54}+2\cos \frac{34\pi }{54}+2\cos \frac{38\pi }{54}=0\\ & 2\cos \frac{2\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{34\pi }{54}+2\cos \frac{34\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{38\pi }{54}+2\cos \frac{38\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{2\pi }{54}=-3\\ & 2\cos \frac{2\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{34\pi }{54}\cdot 2\cos \frac{38\pi }{54}=\alpha \\ \end{array}$

三次方程式は

$u^3-3u-\alpha =0$

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

$u_1=2\cos (\frac{1}{3}\arccos \frac{\alpha }{2})=\sqrt[3]{\sqrt[3]{-{\omega }^2}}+\sqrt[3]{\sqrt[3]{-\omega }}$

よって

$\cos \frac{2\pi }{54}=\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{-{\omega }^2}}+\sqrt[3]{\sqrt[3]{-\omega }}}{2}$

正五十四角形の作図

正五十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十四角形は折紙により作図可能である。

関連項目

• 九角形
• 十八角形
• 二十七角形