ハイパー演算子

テンプレート:出典の明記 テンプレート:Expand English ハイパー演算子（ハイパーえんざんし、hyper operator）は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。

表記

表記の制約のため、以後丸囲み文字(①,②,③,…)を丸かっこ入り文字 (n) で表すものとする。

加算演算子を上付き(1) (a + b = a ⁽¹⁾b)、乗算演算子を上付き(2) (ab = a ⁽²⁾b)、冪乗演算子を上付き(3) (a^b = a ⁽³⁾b)で表し、それらを一般の非負整数nに一般化した上付き(n) (a ⁽ⁿ⁾ b) がハイパー演算子である。

それらを関数形式で表す hypern、nを変数とした3変数関数 hyper も定義される。hyper1は加算、hyper2は乗算、hyper3は冪乗であり、さらにhyper4はテトレーション (tetration)、hyper5はペンテーション (pentation)、hyper6はヘキセーション (hexation)･･･と呼ばれる。

n = 0～4 の例は次のとおり。

$\begin{array}{cc}\mathrm{hyper0}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,0,b)=a^{\left(0\right)}b=& b+1\\ \mathrm{hyper1}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,1,b)=a^{\left(1\right)}b=& a+b\\ \mathrm{hyper2}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,2,b)=a^{\left(2\right)}b=& ab=\underset{\text{長さ}b}{\underbrace{a+a+\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots +a+a}}=\underset{0}{\overset{b}{\int }}adb\\ \mathrm{hyper3}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,3,b)=a^{\left(3\right)}b=& a^b=a\uparrow b=\underset{\text{長さ}b}{\underbrace{a\times a\times \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \times a\times a}}\\ \mathrm{hyper4}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,4,b)=a^{\left(4\right)}b=& {}^{b}a=a\uparrow \uparrow b=\underset{\text{高さ}b}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{array}$

hyper0は、第2被演算子 b の後者関数（第1被演算子 a は無視される）とする。ただし、他の定義を使うこともある。

n > 4 の場合は次のように定める。これは n > 1 の場合全てに成り立つが、n = 1 では成り立たない。

$\mathrm{hyper}n(a,b)=\mathrm{hyper}(a,n,b)=a^{\left(n\right)}b=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{a^{(n-1)}{a}^{(n-1)}{\cdots }^{(n-1)}a}}$

他の表記法との関係

n ≥ 3 に対しては、クヌースの矢印表記やコンウェイのチェーン表記との間に次の関係が成り立つ。

$\mathrm{hyper}(a,n,b)=a^{(n)}b=a{\uparrow }^{n-2}b=a\to b\to (n-2)\text{ when }n\ge 3$

また、n ≥ 1 に対しては、Bowerの拡張演算子 (Jonathan Bowers' Extended Operator) との間に次の関係が成り立つ。

$\mathrm{hyper}(a,n,b)=a^{(n)}b=a⟨n⟩b\text{ when }n\ge 1$

再帰的定義

次のように再帰的に定義できる。b = 0のときの例外処理がnによって違うことに注意。

$\mathrm{hyper}(a,n,b)=a^{(n)}b=\{\begin{array}{cc}b+1,& \text{if }n=0\\ a,& \text{if }n=1,b=0\\ 0,& \text{if }n=2,b=0\\ 1,& \text{if }n\ge 3,b=0\\ a^{(n-1)}(a^{(n)}(b-1))& \text{otherwise}\end{array}$

実数への拡張

冪乗を指数関数に拡張したような、b、n の実数への自然な拡張はなされていない。

下付きハイパー演算子

n ≥ 3（冪乗） 以上では結合律が成り立たないので、右からの優先順位が定められていて、

$\mathrm{hyper}(n+1)(a,b)=a^{(n+1)}b=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{a^{\left(n\right)}{a}^{\left(n\right)}{\cdots }^{\left(n\right)}{a}^{\left(n\right)}a}}=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{a^{\left(n\right)}(a^{\left(n\right)}{\cdots }^{\left(n\right)}\left(a^{\left(n\right)}a\right)\cdots )}}$

である。

それに対し、ハイパー演算子を下付きにすることで、優先順位を左からとする演算を表せる。つまり、

${\mathrm{hyper}}_{n+1}(a,b)=a_{(n+1)}b=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{{(\cdots {\left(a^{\left(n\right)}a\right)}^{\left(n\right)}{\cdots }^{\left(n\right)}a)}^{\left(n\right)}a}}$

である。

ただし、下付きハイパーn+1演算子はハイパーn演算子を使って簡単に表せる、たとえば

$a_{\left(4\right)}b=a_{\left(3\right)}{a}_{\left(3\right)}(b-1)=a^{a^{(b-1)}}$

（冪乗法則より）なので、本質的に新しい演算ではなく、下付きハイパー演算子の用途はあまりない。

外部リンク

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