ポアソン和公式

テンプレート:出典の明記 数学においてポアソン和公式（ポアソンわこうしき、テンプレート:Lang-en）とは、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。

証明

以下の式変形によって示される。

$\begin{array}{cc}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(k)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i2\pi kx}dx)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\underset{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-n)}{\underbrace{\left(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i2\pi kx}\right)}}dx\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\delta (x-n)dx)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)\end{array}$

ここで、

• $\hat{f}(k)$ は $f(x)$ のフーリエ変換
• $\delta (x)$ はデルタ関数

である。

応用

テータ関数、リーマンゼータ関数に関連した証明に応用される。

一般化

セルバーグ跡公式は本質的に一般化となっている。

関連項目

• フーリエ変換
• テータ関数
• リーマンゼータ関数
• シメオン・ドニ・ポアソン