モノイド環

抽象代数学におけるモノイド環（モノイドかん、テンプレート:Lang-en-short）あるいはモノイド多元環（モノイドたげんかん、テンプレート:Lang-en-short; モノイド代数）は、（単位的）環とモノイドから構成される単位的多元環で、多項式環の概念を一般化するものである。

実際、環 テンプレート:Mvar 上の一変数多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar と（テンプレート:Math を含む）自然数全体の成す（加法的）モノイド テンプレート:Math （あるいは適当な不定元 テンプレート:Mvar を用いて乗法的に書いた可換モノイド テンプレート:Math）から得られるモノイド環 テンプレート:Math であり、同様に（加法）モノイド テンプレート:Math は テンプレート:Mvar-変数の多項式環 テンプレート:Math を与える。

与えられたモノイドがさらに群を成すとき、得られるモノイド環は群環と呼ばれる。

定義

テンプレート:Mvar を環とし テンプレート:Mvar をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。 テンプレート:Ordered list 言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。

• テンプレート:Math は環として単位的である。実際、テンプレート:Mvar の乗法単位元 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar の単位元 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math は上記乗法の単位元を与える。
• テンプレート:Math が環として可換となるのは、テンプレート:Mvar が可換モノイドであるときである。
• 係数環の変更: 環 テンプレート:Mvar とその間の環準同型 テンプレート:Math に対して、モノイド環の間の準同型 テンプレート:Math が テンプレート:Math（形式和で書けば テンプレート:Math）とおくことにより一意的に定まる。

テンプレート:Math に対して元ごとのスカラー倍

$(r\varphi )(g):=r(\varphi (g))(r\sum _g{r}_g\cdot g:=\sum _g(r{r}_g)g)$

を定義して テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の多元環になる。

普遍性

環 テンプレート:Mvar とモノイド テンプレート:Mvar が与えられると、各 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math （テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の単位元）に送る環準同型 テンプレート:Math と、各 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math （テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の乗法単位元）に送るテンプレート:仮リンク テンプレート:Math （テンプレート:Math は乗法によりモノイドと見る）が存在するという意味で テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は テンプレート:Math に標準的に埋め込めて、任意の テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して テンプレート:Math と テンプレート:Math は常に可換となる。このとき、モノイド環の普遍性とは次のように述べられる。

モノイド環の普遍性

任意の環 テンプレート:Mvar について、環準同型 テンプレート:Math およびモノイド準同型 テンプレート:Math （S は乗法についてモノイドと見る）の組で テンプレート:Math と テンプレート:Math テンプレート:Math が常に可換となるものが与えられるならば、環準同型 テンプレート:Math で テンプレート:Math かつ テンプレート:Math を満たすものが一意的に存在する。

圏論的に述べれば、モノイドの圏 テンプレート:Math と結合的 テンプレート:Mvar-多元環の圏 テンプレート:Math に対して、函手 テンプレート:Math を環にその乗法モノイドを対応させるものとすれば、標準的な埋め込み テンプレート:Math が普遍である。即ち テンプレート:Mvar-多元環 テンプレート:Mvar と任意のモノイド準同型 テンプレート:Math に対し テンプレート:Math となる テンプレート:Mvar が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は テンプレート:Mvar の左随伴である。

添加

添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型 テンプレート:Nowrap である：

$\eta (\sum _{g\in G}{r}_{g}g)=\sum _{g\in G}{r}_g.$

η の核は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 R 加群で、すべての 1 ≠ g ∈ G に対する 1 − g からなる基底を持つ。

一般化

• テンプレート:Mvar が半群であれば、同じ構成により半群環 (semigroup ring) R[G] が生じる。モノイド環は必ず単位的となるが、半群環は（半群に単位元の存在が必ずしも言えないから）そうでない。

テンプレート:Mvar は環、テンプレート:Mvar は全順序群、すなわち テンプレート:Math を満たす群とするとき、

テンプレート:Math

と置けば、テンプレート:Math は畳み込み積を乗法、成分ごとの和を加法として環を成す。テンプレート:Mvar が体のとき テンプレート:Math は可除環になる。例えば テンプレート:Math を整数の通常の大小関係を順序とする全順序群とすれば、得られる環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar-係数形式ローラン級数環である。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連文献

• R. Gilmer. Commutative semigroup rings. University of Chicago Press, Chicago–London, 1984.

関連項目

• 自由代数

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:SpringerEOM