ルジャンドル予想

概要

ルジャンドル予想は素数の間隔に関連した予想の一つである。もし予想が正しいとすれば、素数テンプレート:Mvar と次に大きい素数までの間隔は、高々テンプレート:Math のオーダーになる。スウェーデンの数学者ハラルド・クラメールは、素数の間隔がより小さくテンプレート:Math のオーダーになると予想した。これが正しいとすれば、十分大きなテンプレート:Mvar に関してルジャンドル予想が成り立つことになる。

素数定理より、テンプレート:Math とテンプレート:Math の間に含まれる素数の個数（テンプレート:OEIS）は、 $\frac{n}{\ln n}$ に漸近する。これはテンプレート:Mvar が大きくなるに従い増加するから、ルジャンドル予想に信憑性を与えている。

また予想と類似の結果として、イギリスの数学者アルバート・イングハムは、テンプレート:Mvar が十分大きければテンプレート:Math とテンプレート:Math の間には必ず素数が存在することを示している^[2]。

他にも、十分大きなテンプレート:Mvar について、区間 $[x, x + O (x^{\frac{21}{40}})]$ は必ず素数を含むということが証明されている^[3]。ここでテンプレート:Math はランダウのO-記法である。

計算により、テンプレート:Math までの自然数に対し予想の正しさが確かめられている^[4]。もしテンプレート:Math の付近に反例があるとすれば、通常の5000万倍近い大きさの素数ギャップが存在することになる。