ウェッジ和

位相空間論や位相幾何学においてウェッジ和 (wedge sum) は位相空間の族の「一点和」である．具体的には，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が基点付き空間（すなわち区別された基点 テンプレート:Math および テンプレート:Math をもつ位相空間）であるとき，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar のウェッジ和は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の直和において テンプレート:Math と同一視した商空間である：

$X\vee Y=(X⨿Y)/\sim ,$

ただし テンプレート:Math は関係 テンプレート:Math テンプレート:仮リンクである．

より一般に，テンプレート:Math を基点 テンプレート:Math を持つ基点付き空間の族とする．この族のウェッジ和は次で与えられる：

$\underset{i}{\bigvee }{X}_i=\coprod _i{X}_i/\sim ,$

ただし テンプレート:Math は同値関係 テンプレート:Math である．言い換えると，ウェッジ和は一点で複数の空間を貼り合わせたものである．この定義は，空間 テンプレート:Mvar たちが等質でない限り，基点 テンプレート:Mvar の取り方に依存する．

ウェッジ和は再び基点付き空間であり，この二項演算は（同相の違いを除いて）結合的かつ可換である．

ウェッジ和はウェッジ積と呼ばれることがあるが，外積のそれとは異なる．

例

2つの円のウェッジ和は8の字空間に同相である．テンプレート:Mvar 個の円のウェッジ和はしばしば円のブーケと呼ばれ，球面のウェッジ和はしばしば球面のブーケと呼ばれる．

ホモトピー論においてよくある構成は テンプレート:Mvar 次元球面 テンプレート:Mvar の赤道上の点をすべて同一視することである．そのようにして得られるものは2つの球面のコピーを赤道だった点でつなげたものである：

$S^n/\sim =S^n\vee S^n.$

テンプレート:Math を赤道を一点に同一視する写像 $\mathrm{\Psi }:S^n\to S^n\vee S^n$ とする．すると，空間 テンプレート:Mvar の基点 テンプレート:Math における テンプレート:Mvar 次元ホモトピー群 テンプレート:Math の2つの元 テンプレート:Math の和は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の テンプレート:Math との合成と理解できる：

$f+g=(f\vee g)\circ \mathrm{\Psi }.$

ここで，テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の基点 テンプレート:Math をそれぞれ テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の基点に写す写像である．上で定義された2つの写像のウェッジ和は，テンプレート:Math がウェッジ和において同一視される点であることから可能であることに注意．

圏論的記述

ウェッジ和は基点付き空間の圏における余積と理解できる．あるいは，ウェッジ和は位相空間の圏における図式 テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクと見ることもできる（ただし テンプレート:Math は一点空間）．

性質

ファン・カンペンの定理は，2つの空間 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar のウェッジ和の基本群がどのような条件下で テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の基本群の自由積であるかの条件（CW複体のようにテンプレート:仮リンク空間は通常満たす）を与える．

関連項目

• スマッシュ積
• テンプレート:仮リンク，可算個の円のウェッジ和に似ているが同じではない位相空間

参考文献

• Rotman, Joseph. An Introduction to Algebraic Topology, Springer, 2004, p. 153. ISBN 0-387-96678-1