レトラクト (位相幾何学)

テンプレート:For 位相幾何学という数学の分野において，レトラクション (retraction) とは，位相空間から部分空間への，その部分空間の全ての点の位置を保つ連続写像であるテンプレート:Sfn．変位レトラクション (deformation retraction) は空間を部分空間に「連続的に縮める」という概念を捉える写像である．

絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract, ANR) は特にテンプレート:Ill2タイプの位相空間である．例えば，すべての位相多様体は ANR である．すべての ANR は非常に単純な位相空間，CW複体，のホモトピー型を持つ．

定義

レトラクト

テンプレート:Mvar を位相空間とし，テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の部分空間とする．このとき連続写像

テンプレート:Math

がレトラクション (retraction) であるとは，テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar への制限がテンプレート:Mvar 上の恒等写像であること，つまりすべてのテンプレート:Math に対してテンプレート:Math であるときにいう．同じことであるが，

ι : A ↪ X

によって包含写像を表せば，レトラクションとは連続写像テンプレート:Mvar であって

r \circ ι = {id}_{A}

なるもの，つまり，テンプレート:Mvar の包含との合成がテンプレート:Mvar の恒等写像であるものをいう．定義により，レトラクションはテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar の全射であることに注意．部分空間テンプレート:Mvar はそのようなレトラクションが存在するときにテンプレート:Mvar のレトラクト (retract) と呼ばれる．例えば，任意の空でない空間は明らかな方法で点にレトラクトする（定値写像がレトラクションとなる）．テンプレート:Mvar がハウスドルフならば，テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の閉集合でなければならない．

テンプレート:Math がレトラクションならば，合成テンプレート:Math はテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への冪等連続写像である．逆に，任意の冪等連続写像テンプレート:Math が与えられると，終域の制限によってテンプレート:Mvar の像の上へのレトラクションを得る．

変位レトラクトと強変位レトラクト

連続写像

テンプレート:Math

が空間テンプレート:Mvar の部分空間テンプレート:Mvar の上への変位レトラクション (deformation retraction) であるとは，すべてのテンプレート:Math とテンプレート:Math に対して

F (x, 0) = x, F (x, 1) \in A, and F (a, 1) = a

であるこという．言い換えると，変位レトラクションはレトラクションとテンプレート:Mvar 上の恒等写像の間のホモトピーである．部分空間テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の変位レトラクト (deformation retract) と呼ばれる．変位レトラクションはホモトピー同値の特別な場合である．

レトラクトは変位レトラクトとは限らない．例えば，空間テンプレート:Mvar の変位レトラクトとして一点を持つということは，テンプレート:Mvar が弧状連結である（実は可縮である）ことを意味する．

Note: 変位レトラクションの同値な定義は以下である．連続写像テンプレート:Math が変位レトラクションであるとは，それがレトラクションでありかつその包含との合成がテンプレート:Mvar 上の恒等写像にホモトピックであるときにいう．この定式化において，変位レトラクションはテンプレート:Mvar 上の恒等写像とそれ自身の間のホモトピーを伴っている．

変位レトラクションの定義において，さらにすべてのテンプレート:Math とテンプレート:Math に対して

テンプレート:Math

と仮定したとき，テンプレート:Mvar を強変位レトラクション (strong deformation retraction) と呼ぶ．言い換えると，強変位レトラクションは，ホモトピーずっとテンプレート:Mvar の点を固定したままにする．（テンプレート:Ill2 のように，これを変位レトラクションの定義にする著者もいる．）

例として，[[超球面|テンプレート:Mvar 次元球面]] テンプレート:Mvar はテンプレート:Math の強変位レトラクトである；強変位レトラクションとして次の写像を取れる：

F (x, t) = ((1 - t) + \frac{t}{‖ x ‖}) x .

コファイブレーションと近傍変位レトラクト

位相空間の写像テンプレート:Math が (テンプレート:Ill2) テンプレート:Ill2 (cofibration) であるとは，それが任意の空間への写像に対してテンプレート:仮リンクを持つときにいう．これはホモトピー論の中心的な概念の1つである．コファイブレーションテンプレート:Mvar は必ず単射であり，実は像への同相であるテンプレート:Sfn．テンプレート:Mvar がハウスドルフ（あるいはテンプレート:仮リンクテンプレート:仮リンク）ならば，コファイブレーションテンプレート:Mvar の像はテンプレート:Mvar において閉である．

すべての閉包含の中で，コファイブレーションは以下のように特徴づけられる．空間テンプレート:Mvar の閉部分空間テンプレート:Mvar の包含がコファイブレーションであることと以下は同値である．テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の近傍変位レトラクト (neighborhood deformation retract) である，つまり，連続写像テンプレート:Math（ただしテンプレート:Math）でテンプレート:Math なるものと，ホモトピーテンプレート:Math が存在して，すべてのテンプレート:Math に対してテンプレート:Math で，すべてのテンプレート:Math に対してテンプレート:Math で，テンプレート:Math のときにテンプレート:Math となるテンプレート:Sfn．

例えば，CW複体の部分複体の包含はコファイブレーションである．

性質

テンプレート:Mvar のレトラクトテンプレート:Mvar（レトラクションをテンプレート:Math とする）の1つの基本的な性質は，すべての連続写像テンプレート:Math が少なくとも1つの拡大テンプレート:Math （すなわちテンプレート:Math）を持つことである．
変位レトラクションはホモトピー同値の特別な場合である．実は，2つの空間がホモトピー同値であることと，それらが両方とも1つのより大きい空間の変位レトラクトであることは同値である．
一点に変位レトラクトする任意の位相空間は可縮であり，また逆も成り立つ．しかしながら，一点に強変位レトラクトしない可縮空間は存在するテンプレート:Sfn．

No-retraction theorem

テンプレート:Mvar 次元球の境界，すなわちテンプレート:Math 次元球面は，球のレトラクトではない．（ブラウアーの不動点定理#ホモロジーを用いた証明を参照．）

絶対近傍レトラクト (ANR)

位相空間テンプレート:Mvar の閉部分集合テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の近傍レトラクト (neighborhood retract) であるとは，テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar を含むテンプレート:Mvar のある開部分集合のレトラクトであるときにいう．

$𝒞$ を位相空間のクラスであって同相と閉部分集合について閉じているものとする．テンプレート:仮リンクに従って（1931年に始まった），空間テンプレート:Mvar がクラス $𝒞$ について絶対レトラクト (absolute retract) であるとは，テンプレート:Mvar が $𝒞$ に属しており，テンプレート:Mvar が $𝒞$ に属する空間テンプレート:Mvar の閉部分集合であるときにはいつでもテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のレトラクトであることをいう．このとき $A R (𝒞)$ と書く．空間テンプレート:Mvar がクラス $𝒞$ について絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract) であるとは，テンプレート:Mvar が $𝒞$ に属しており，テンプレート:Mvar が $𝒞$ に属する空間テンプレート:Mvar の閉部分集合であるときにはいつでもテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の近傍レトラクトであることをいう．このとき $A N R (𝒞)$ と書く．

正規空間のような様々なクラス $𝒞$ がこの定義において考えられてきたが，距離化可能空間のクラス $ℳ$ が最も満足のいく理論を与えることが分かっている．そのため，ノーテーションテンプレート:Math とテンプレート:Math それら自身は本項で $A R (ℳ)$ と $A N R (ℳ)$ を意味するために用いられるテンプレート:Sfn．

距離化可能空間が AR であることと可縮かつ ANR であることは同値であるテンプレート:Sfn．テンプレート:仮リンクによって，すべての局所凸距離化可能線型位相空間テンプレート:Mvar は AR である；より一般に，そのようなベクトル空間テンプレート:Mvar のすべての空でない凸部分集合は AR であるテンプレート:Sfn．例えば，任意のノルム空間（完備であってもなくても）は AR である．より具体的に，ユークリッド空間テンプレート:Math, テンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar, ヒルベルト立方体テンプレート:Mvar は AR である．

ANR たちは「行儀のよい」位相空間の注目すべきクラスをなす．それらの性質のいくつかは：

ANR のすべての開部分集合は ANR である．
テンプレート:仮リンクにより，ANR による開被覆を持つ距離化可能空間は ANR であるテンプレート:Sfn．（つまり，距離化可能空間に対して，ANR であることはテンプレート:仮リンクである．）任意の位相多様体は ANR であることが従う．例えば，球面テンプレート:Mvar は ANR であるが AR ではない（可縮でないので）．無限次元では，Hanner の定理により，ヒルベルト立方体多様体や，（かなり異なり例えば局所コンパクトでない）ヒルベルト多様体，テンプレート:Ill2は ANR である．
任意の局所有限 CW 複体は ANR であるテンプレート:Sfn．任意の CW 複体が距離化可能なわけではないが，任意の CW 複体は（定義により距離化可能な）ANR のホモトピー型を持つテンプレート:Sfn．
任意の ANR テンプレート:Mvar は次の意味で局所可縮である，すなわちテンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar の任意の開近傍テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Mvar に含まれるテンプレート:Mvar の開近傍テンプレート:Mvar が存在して，包含テンプレート:Math は定値写像にホモトピックとなる．有限次元距離化可能空間が ANR であることとこの意味で局所可縮であることは同値であるテンプレート:Sfn．例えば，カントール集合は実数直線の ANR でないコンパクト部分集合である，なぜならば局所連結ですらないからである．
反例: Borsuk はテンプレート:Math のコンパクト部分集合であって ANR であるが強局所可縮でないものを見つけたテンプレート:Sfn．（空間が強局所可縮であるとは，各点テンプレート:Mvar の任意の開近傍テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の可縮開近傍を含むときにいう．）Borsuk はまたヒルベルト立方体のコンパクト部分集合であって局所可縮（定義は上述）であるが ANR ではないものを見つけたテンプレート:Sfn．
テンプレート:仮リンクと Milnor により，任意の ANR は CW 複体のホモトピー型を持つテンプレート:Sfn．さらに，局所コンパクト ANR は局所有限 CW 複体のホモトピータイプを持つ；そして，West により，コンパクト ANR は有限 CW 複体のホモトピー型を持つテンプレート:Sfn．この意味において，ANR は任意の位相空間のすべてのホモトピー論的な病的さを避けている．例えば，テンプレート:Ill2は ANR に対して成り立つ：ANR の間の写像であって（基点の任意の選択に対して）ホモトピー群上の同型を誘導するものはホモトピー同値である．ANR は位相多様体，ヒルベルト立方体多様体，バナッハ多様体，などを含むから，これらの結果は空間の大きいクラスに適用する．
多くの写像空間は ANR である．特に，テンプレート:Mvar を ANR で，ANR である閉部分空間テンプレート:Mvar を持つものとし，テンプレート:Mvar をコンパクト距離化可能空間で，閉部分空間テンプレート:Mvar を持つものとする．このとき空間テンプレート:Math, つまりテンプレート:仮リンクの間の写像テンプレート:Math 全体のなす空間にコンパクト開位相を入れたものは，ANR であるテンプレート:Sfn．したがって，例えば，任意の CW 複体のテンプレート:仮リンクは CW 複体のホモトピー型を持つ．
Cauty により，距離化可能空間テンプレート:Mvar が ANR であることは，テンプレート:Mvar の任意の開部分集合が CW 複体のホモトピー型を持つことと同値であるテンプレート:Sfn．
Cauty により，テンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar（すなわち移動不変な計量を持つ位相ベクトル空間）であって AR でないものが存在する．テンプレート:Mvar として可分なF空間（すなわち完備計量線型空間）を取ることができるテンプレート:Sfn．（上の Dugundji の定理により，テンプレート:Mvar は局所凸にはなりえない．）テンプレート:Mvar は可縮であって AR ではないので，ANR でもない．上の Cauty の定理によって，テンプレート:Mvar は開部分集合テンプレート:Mvar であって CW 複体にホモトピー同値ではないものを持つ．したがって，強局所可縮だが CW 複体にホモトピー同値でない距離化可能空間テンプレート:Mvar が存在する．強局所可縮なコンパクト（あるいは局所コンパクト）距離化可能空間が ANR でなければならないかどうかは知られていない．

脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

テンプレート:PlanetMath attribution

レトラクト (位相幾何学)

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定義