擬絶対値

テンプレート:出典の明記 数学における擬絶対値（ぎぜったいち、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-de-short）は、絶対値よりも条件の緩い類似の概念である。

定義

テンプレート:Mvar を単位的環とする。非負実数値函数 テンプレート:Math が擬絶対値であるとは、以下の三条件をすべて満たすときにいう: テンプレート:Math を任意として

1. 定値性: $|a|=0⟺a=0,$
2. $|a-b|\le |a|+|b|,$
3. 劣乗法性: $|a\cdot b|\le |a|\cdot |b|.$

条件 3 の代わりにより強く

3a. 乗法性: $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$

を満たすものは絶対値と言う。

擬絶対値 テンプレート:Math が非アルキメデス的とは

$|a+b|\le \max (|a|,|b|)$

を満たすときに言う。

性質

• 擬絶対値は各元 テンプレート:Math に対して必ず テンプレート:Math を満たす。また、各元 テンプレート:Math に対して三角不等式 テンプレート:Math を満たす。
• 擬絶対値に関して必ず テンプレート:Math が成り立ち、特に絶対値に関して テンプレート:Math が成り立つ。
• 絶対値を持つ任意の単位的環は整域でなければならない（乗法性により、実数のテンプレート:Ill2がその環に遺伝する）。

例

以下 テンプレート:Math は擬絶対値持つ単位的環とする。

多項式環の擬絶対値

多項式環 テンプレート:Math または多変数の テンプレート:Math はそれ自体（多項式の積に関して）単位的環を成す。ここでたとえば、1-テンプレート:Ill2は多項式環上の擬絶対値を与える。

行列環の擬絶対値

同様に行列環 テンプレート:Math も（行列の積に関して）単位的環を成し、ここでも テンプレート:Math なる各実数 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar-擬ノルムが行列環上の擬絶対値を与える。